【正文】 ψ1中取 m1值的幾率為 |c1|2； 在 ψ2中取 m2值的幾率為 |c2|2； 在 ψn中取 mn值的幾率為 ||2； 由于在整個空間中，幾率密度等于 1，所以 1n1i2in1ii*in1ii*ii*in1iiin1i*i*i ??? ?? ? ?????? ?? ? ?????????? cccdccdccddw ?????????因此， |ci|2代表 ψ狀態(tài)時 M平均值取 mi值時的幾率。 (2) 例如，原子中的電子可能存在于 s或 p軌道，將 s與 p軌道的波函數(shù)線性組合為雜化軌道后也是電子可能的軌道。dinger方程也叫能量有確定值的本征方程； (5) 滿足本征方程的波函數(shù)一定是品優(yōu)波函數(shù)； (6) 退化度（簡并度）：若有 f 個線性無關(guān)的本征函數(shù) ψ， 對應(yīng)于同一 個本征值 E， 那么這些線性無關(guān)的本征函數(shù)個數(shù) f 叫簡并度，而說 本征值 E是簡并的。dinger方程 三維箱中粒子的 Schr246。 (2) 定態(tài)是不依賴 t的運動狀態(tài)，是原子、分子中電子最可能的狀態(tài)，不顯含 t的 ψ可以解釋微觀現(xiàn)象中大量的定態(tài)性質(zhì)。dinger方程的幾點說明： (1) Schr246。 量子力學(xué)可以證明， E就是粒子的能量， E=T+V。 22() ( , , )( ) 2 ( , , )i d t x y z Vt d t m x y z? ???? ? ? ? ?? ?? ?),(),( ee),(),( ),(),(),(*i ωi ω**2zyxzyxzyxzyxtzyxΨtzyxΨtzyxΨtt???????????第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 22 ( , , ) ( , , ) ( , , )2 x y z V x y z E x y zm ? ? ?? ? ? ?22 ( , , ) ( ) ( , , ) 02 x y z E V x y zm ??? ? ? ? ? ? ?上式左邊只是 t 的函數(shù)，右邊只是 (x,y,z)的函數(shù)，兩邊必等于同一常數(shù) (E) 整理之得 22 ( , , ) ( , , )2 V x y z E x y zm ????? ? ? ? ?????也可寫作 此為定態(tài)波函數(shù) ψ (x， y， z)所應(yīng)滿足的方程 —— 定態(tài) Schr246。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 波函數(shù)的這種形式，可保證粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率密度不隨 t 改變。dinger方程來表達： 22( , , , ) ( , , , ) ( , , , )2x y z ti x y z t V x y z ttm? ??? ? ? ? ??i ω( , , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) e tx y z t x y z t x y z? ? ? ?? ? ? ?化學(xué)所討論的狀態(tài) —— 多數(shù)是 定態(tài) —— 其幾率密度分布不隨時間而改變的狀態(tài)。dinger 方程 牛頓第二定律對于速度遠小于光速的宏觀物理現(xiàn)象是正確的。 1)( )( ii n*n ??? dxxΨxΨ 有相同定義域和相同自變量，并滿足邊界條件的連續(xù)函數(shù)的任意線性組合 就構(gòu)成了該函數(shù)的完備系列 {Ψn(x)}。 0)( )( 2*1 ??? dxxΨxΨA?A?本征函數(shù)正交性定理 Ⅱ ： 屬于同一厄米算符 相同本征值 an的不同本征函數(shù)系列 {Ψn1， Ψn2， …… ， Ψnf}任意線性組合為 Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+ …+ cfΨnf后， Ψn仍然是 屬于同一本征值 an的本征函數(shù)。（即， 為厄米算符， Ψm 和 Ψn為 2 個不同本征函數(shù)， am和 an為 2個與 Ψm 和 Ψn相對應(yīng)的本 征值，則 ）。 A?A?A?A? A? A?若： ，則函數(shù) Ψ1(x)和 Ψ2(x)彼此正交。和 xP x?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 三、本征態(tài)、本征值和 Schr246。一般情況下不等于 A?B?B?A?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 算符的對易關(guān)系： ? ?A?B?B?A? ? 稱為算符對易關(guān)系中的對易子，用 表示。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 5. 算符的運算規(guī)則 (1) 算符的相等： 若 ，則 )(B?)(A? xuxu ? B?A? ?(2) 算符的加法：滿足交換律和結(jié)合律 若 則 若 則 )(B?)(A?)(C? xuxuxu ?? B?A?C? ??C?B?A?F? ??? ? ? ? ?C?B?A?C?B?A?F? ??????(3) 算符的乘法：一般不滿足交換律 若 ，則 ，而 。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 4. 線性厄米算符 如果一個算符即是線性的又是厄米的，則這個算符就是線性厄米算符。c o ss i n rzryrx ???第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 直角坐標系和球坐標系中的 Laplace算符表示： 22222222222222s i n1s i ns i n11 ?????? ???????????????????????????????????rrrrrrzyx???? dddrrd s i n2?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 則算符 稱為線性算符。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 同樣可以很容易求出角動量 L及其在球坐標系中三個分量 Lx、 Ly、 Lz的算符及角動量平方 L2算符的表達式： ? ? ? ? ? ? zyxxyxzyzzyxLkLjLiyPxPkzPxPjzPyPiPPPzyxkjiPrL???????????????????????????????????????????????????????????????yzzyiyizziyPzPyL yzx ?????????????? ??????? zxxziL y ?????????????????xyyxiL z ??第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 直角坐標系和球坐標系之間的變換關(guān)系 θ ： 0 ~ π φ： 0 ~ 2π r ： 0 ~ ∞ ? ? 21222 zyxr ????tgxy ?????? c o s 。 ()ux()ux ()uxM?M? M?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 例如，求單個粒子的能量算符 。 規(guī)定了某種運算的符號稱為算符，或稱為算子 力學(xué)量算符化規(guī)則： （ 1）坐標 q(x,y,z)和時間 t所對應(yīng)的算符就是坐標和時間自身。 (3) Ψ(x， y， z， t)必須滿足下面的三個標準化條件才能稱為“品優(yōu)”波函數(shù)。 令 則： K???2( , , , )dw x y z t d???2( , , , )w x y z t??Ψ為未歸一化波函數(shù)。 原因：粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率密度之比等于波函數(shù)在這些點的平方之比 ， 而將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后 ， 它在各點的平方之比并不改變 ， 因而粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率密度之比不變 ， 所以粒子所處的物理狀態(tài)也就相同 。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) (2) 幾率： 空間某一小體積元 dτ 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子數(shù)的多少 dτ 為 x到 x+dx， y到 y+dy， z到 z+dz區(qū)域 ， dw (x， y， z， t)表示在時間 t和空間 dτ內(nèi)找到電子的幾率 ， 則： d d x d y d z? ? ? ?2( , , , ) ( , , , )d w x y z t K x y z t d???K是比例常數(shù)。 除電子外，質(zhì)子、中子等一切微觀粒子都具有波動性，其運動狀態(tài)都可用一函數(shù) Ψ來描述， Ψ 稱為波函數(shù)或狀態(tài)函數(shù)。 4 量子力學(xué)的基本假設(shè) 一、波函數(shù)和微觀粒子運動狀態(tài)的描述 假設(shè) Ⅰ ：對于一個微觀體系，它的狀態(tài)和有關(guān)情況可用波 函數(shù) Ψ(x,y,z,t)表示， Ψ是坐標 (x,y,z,t)的函數(shù)，同時 也是時間 t的函數(shù)。 量子場合： h不能忽略，測不準關(guān)系影響大，必須用量子力 學(xué)方法處理。 波動性粒子的特點 —— 不能在同一時刻具有確定的坐標和動量，它的某個坐標被確定的越準，則在此方向上的動量分量就越不準，反之亦然。因此我們說動量為 P的自由電子的波長等于 。 2 d S in n????? s in2nd?n = 0, 1, 2, …… 這樣計算出來的波長與根據(jù) de Brolie關(guān)系式計算出來的結(jié)果完全一致。波長由 de Brolie關(guān)系式確定 ?mh???第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) de Broglie 假設(shè)推測電子波的波長： 電子速度： Vemv ??30 0121 2電子波的波長： )A( ?Vm h ?? ??第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、 de Brolie假設(shè)的證實 —— 電子衍射實驗 1927年 Davisson和 Germer的電子衍射實驗 ： 實驗結(jié)果說明電子具有波動性 。 實物粒子也具有波動性，表征實物粒子粒子性的物理量 E 和 P與表征波動性的物理量 v和 λ 之間的關(guān)系： Eh??de Brolie關(guān)系式： ，其中 不適用于光。 3 實物粒子的波粒二象性 一、 de Broglie 假設(shè)和 de Broglie波 實物粒子：電子、中子等靜止質(zhì)量不等于零的粒子。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 三、光的本質(zhì) 1. 光是物質(zhì) 2. 光的波粒二象性 光在與實物粒子的相互作用中表現(xiàn)為粒子性，光也不是經(jīng)典力學(xué)中的粒子，但具有經(jīng)典概念中粒子的某些性質(zhì)。 212