[理學(xué)]量子力學(xué)-資料下載頁
2025-01-19 15:19本頁面
【正文】 xe)39。39。39。(d21 ??? 坐標(biāo)的本征態(tài)也是不能歸一化的，可用 類似的方法處理 : 44 0)39。()39。( ??? xxxx ?利用 δ 函數(shù)的性質(zhì)，有 則有 )39。(39。)39。( xxxxxx ??? ??這實(shí)際上是關(guān)于坐標(biāo)算符 x 的本征值方程，記 )39。()(39。 xxxx ?? ??x39。x)39。( xx ??此時(shí) 45 )39。39。39。( xx ?? ?用積分表示為 也是用 δ 函數(shù)來表示其歸一化。 平面波的“歸一化”問題還可采用數(shù)學(xué)上傳 統(tǒng)的的作法，即先讓粒子局限于有限空間 [L/2， L/2]中運(yùn)動(dòng)，最后讓 L→ ∞。 ?????? xxxxx d)39。39。()39。( ????????))(),(( 39。39。39。 xx xx ??167。 箱歸一化 ﹟ 46 邊界條件，即要求波函數(shù)滿足周期性為厄米算符，為保證動(dòng)量算符xip x???? ??2/2/ pLipLi ee ?? ??拓（偶延拓），即級(jí)數(shù)），特作周期延周期函數(shù)（，為把其表為設(shè)動(dòng)量本征態(tài)F ou r i e r~)(pxipex ??)2()2( LL pp ?? ??（見教材附注） 47 ?? ,2,1,0,2 ????? nnpL ?1?pLie ?相除，得或 1)c os (0,)s i n ( ????pLpL或 ，即粒子波長|||| nLph ???LnhnLpp n ??? ??2Ln ??||48 態(tài)可以寫為相應(yīng)的動(dòng)量本征此時(shí)，與 npxpixpnneL?1)( ??LxnieL/21 ??上述波函數(shù)滿足正交歸一條件 mnpLLp mnx ??? ???2/2/*d這種歸一化稱為“箱歸一化”，以區(qū)別于分立 譜本征函數(shù)的歸一化。 不連續(xù)的。就是，動(dòng)量取值可以看出，只要 npL ??Lnhpn ?由 49 δ 函數(shù)可以用任一正交完備函數(shù)組表示。 函數(shù)可以構(gòu)成如下的一完備函數(shù)利用上面給出的正交歸?? )( xnp???????????? ???nLxxninxxip eLeLxx n /)39。(2/)39。( 11)39。( ?? ?，則，讓由于 ??? LLnhp n，01 ????? ?Lhpppnnn化，此時(shí)動(dòng)量允許值趨于連續(xù)變根據(jù) δ 函數(shù) 性質(zhì)： 50 ? ?????????nphL d? ????????????????nnn pLhp dpLhpppnnn d1 ????? ?并且 從而有 于是 同。這與前面得到的公式相)39。(d21 xxikek ?????? ? ? ? ?kp ?? ??????????nLnxxieLxx)39。(21)39。(??Lnhp ?但是 ??/)39。(d21 xxipep ?????? ?51 可見，為避免平面波的“歸一化”問題， 箱歸一化的波函數(shù) 代替 ,在最后 的結(jié)果中再令 即可。 )(xnp???L)(xp?推廣到三維情況： ???? ? /2/31)( rpip eLr???動(dòng)量算符的本征態(tài)為 mLhplLhpnLhp zyx ??? ,式中?,2,1,0, ???mln52 ? ?)(39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。*39。3)()(Lpppppppp zzyyxxdrr ??????????其正交歸一化關(guān)系為 而 )39。()39。()39。()39。( zzyyxxrr ????? ???? ?????????????mlnzzmyylxxnieL ,/)]39。()39。()39。([231 ??zyx pppLh ddd/33 ?即續(xù)變化，從而有將連時(shí)，按照前面的思想，當(dāng) zyx pppL ,???xpLh d?53 若將對(duì)量子態(tài) n,l,m求和寫成積分的形式， 有 ?????????? zyxmlnppphL ddd33,此時(shí) ????????)39。(33 d)2(1)39。( rrpiperr ?????????此式表示 相空間 中的一個(gè)體積元 h3 能容納 一個(gè)量子態(tài)。 ﹟ 54 有優(yōu)秀且愿意到北大來讀博士的學(xué)生嗎？ 如果有興趣，可報(bào)“北京大學(xué)前沿交叉學(xué)科 研究院 2022年交叉學(xué)科優(yōu)秀大學(xué)生夏令營”， 詳細(xì)情況請(qǐng)見通知 (網(wǎng)頁： ?ArticleID=645)
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