量子力學(xué)習(xí)題解答-第2章-資料下載頁
2025-08-05 16:34本頁面
【正文】 波，透射波，我們得到 所以 即除了振幅之比外，還有波矢之比出現(xiàn)。對于，代入透射波，可以求出（透射波是指數(shù)衰減波，它不能傳到無限遠(yuǎn)處，透射波是實函數(shù)，幾率流密度公式中的兩項相互抵消），所以。（d）對于情況，我們可以求出， 所以 對于，所以反射系數(shù)在這種情況下等于1。 ： 解：利用三角公式 其中 是一維無限方勢阱能量本征函數(shù)。歸一化 所以在時刻，波函數(shù)為 其中 是一維無限方勢阱能量本征值。 其中 坐標(biāo)的期待值為 代入 最后得到 *： 解：（a） 體系的初始波函數(shù)為 當(dāng)右阱壁從移到后，體系的能量本征函數(shù)和本征值為 所以我們需要把用現(xiàn)在的本征函數(shù)展開 展開系數(shù)可以由傅里葉技巧求出 對能量進(jìn)行測量得到的幾率為 顯然是最可幾幾率，所以測量得到的幾率最大，注意這個能量與勢阱壁沒有移動時的基態(tài)能量一樣。（b）所以次最可幾幾率是（c），這正是勢阱移動前的基態(tài)能量，所以勢阱移動前后體系的能量是一樣的，這是能量守恒的體現(xiàn)。： 解：定態(tài)薛定諤方程在區(qū)域與諧振子的方程完全一樣，但是在處波函數(shù)必須為零，所以我們可以從諧振子的本征函數(shù)中選出滿足在處的能量本征函數(shù)函數(shù)，顯然為奇函數(shù)的滿足我們的要求，而為偶函數(shù)的不滿足要求。所以半諧振子勢的解是諧振子解中的那些解。能量本征值為 基態(tài)為的態(tài)，這比諧振子基態(tài)能量高。： 解： 對偶函數(shù)解，在和兩個區(qū)域定態(tài)薛定諤方程的解為 其中 在處波函數(shù)連續(xù)已經(jīng)滿足，（函數(shù)勢引起）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)躍變給出 在的邊界條件給出 由此我們得到能級滿足的方程 數(shù)值解這個超越方程（如下圖）可以得到解從圖中可以看出，解得的值略大于 而且隨著的增加越來越靠近，所以能量本征值為 此式右邊為阱寬為的無限深勢阱的能量本征值，所以在勢在勢阱中心存在的情況下，能量本征值比沒有時略有增加。當(dāng)勢的強(qiáng)度減弱（減小），圖中直線變得更加傾斜，將更加接近于阱寬為的無限深勢阱的能量本征值。當(dāng)勢的強(qiáng)度增加（增大），圖中直線將變得比較水平，將接近，將接近阱寬為的無限深勢阱的能量本征值。時，中心的勢壘把勢阱分割成兩個孤立的阱寬為的無限深勢阱。 對奇函數(shù)解，在和兩個區(qū)域定態(tài)薛定諤方程的解為 在處波函數(shù)連續(xù)要求（函數(shù)勢引起）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)躍變給出 （自然滿足）在的邊界條件給出 由此我們得到能級滿足的方程 即這正是阱寬為的無限深勢阱的能量本征值中為偶數(shù)的那些，所以在勢在勢阱中心存在的情況下，對奇函數(shù)解能量本征值沒有變化。這是因為波函數(shù)在勢阱中心為零，所以感受不到此處勢的影響。
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