【正文】 40．解：： 粒子數(shù)，單粒子態(tài)為：,由統(tǒng)計(jì)學(xué)知，狀態(tài)數(shù)，或畫(huà)圖示意。 38. 解： 。 同理，當(dāng)時(shí)，可得： 。 ① ，有非零解的條件是 解得： 。 即得的本征值為的本征矢為 ，亦即的本征值為的本征矢。 當(dāng)時(shí)， ，的本征值為的本征矢為 ，亦即的本征值為的本征矢。 ③ 又因?yàn)? 34. 解： ，設(shè)的本征方程為 ＝ ， 有 ， ① 解得： 。 ② 將①，②兩式代入 中，得 。取，于是有 。 在的表象中， ； ① 設(shè) ，根據(jù)厄密算符的定義，可知、必為實(shí)數(shù)，即 。 其一級(jí)修正為 。 所以波函數(shù)的一級(jí)修正為： ， 當(dāng)及為偶數(shù)時(shí)， 。 因此，用精確法所計(jì)算的帶電振子的能級(jí)為 。 下面計(jì)算二級(jí)修正值：＝ ＝＝ 。 29. 解：（1）微擾理論求解：哈密頓為： ， ， （設(shè)為負(fù)電荷） 的本征函數(shù)和本征值（能量）分別為： , , 。 27. 解： 。 代入能量的二級(jí)近似公式 ， 則 ， 。 對(duì)于第個(gè)能級(jí)，能量的二級(jí)修正為 具體求解得： 。 加進(jìn)外電場(chǎng)，微擾能量為 。 （2）從所給和的條件看，和處于完全對(duì)稱的地位，所以在上問(wèn)中將和交換即可：在表象中，的矩陣形式為 ，的矩陣形式為 ，的本征值為，所屬的本征函數(shù)分別為和。 又因是厄米的，即 ，即＝ ， 由此得，一般選取 。 2. 解：（1）在表象中，算符的矩陣是對(duì)角化的，對(duì)角元素就是本征值。 ， 在的本征態(tài)中，0。 （2）動(dòng)能平均值： 。 能量的平均值為 ++ 。 15. 解： 可見(jiàn)動(dòng)量能取5個(gè)值，依次是：，0，和， 出現(xiàn)的幾率分別是 ， ，和 。 ⑤ 因?yàn)檫吔缣幨抢硐敕瓷浔冢Ｗ咏^對(duì)不能透出壁外，所以。 出現(xiàn)0和的幾率分別為：和，即和。 13. 解：（1）能量： 能量的本征方程為： ，其能量 ， ，可見(jiàn)所給波函數(shù)是能量的本征函數(shù)， 。 即 ＝ ， ， 解為：＝ 。 同理可得方向波函數(shù)和能級(jí)： ，為歸一化常數(shù)， 。 11. 解：在方向，粒子被限制在區(qū)間運(yùn)動(dòng)，除和兩點(diǎn)外，粒子在內(nèi)卻是自由的，故狀態(tài)可以看作兩個(gè)動(dòng)量為和的平面波的疊加，即 ， 由得： ， 即 。因此，可以得到兩組解： （1） ， ， （2） ， 。 ② 根據(jù)波函數(shù)滿足的連續(xù)性和有限性條件，只有當(dāng)時(shí)，②式才能成立，所以有 ， 。 由薛定諤方程和它的共軛復(fù)數(shù)方程可得： ， 這樣有 。 必須注意的是，在 的區(qū)域， 即 。極值點(diǎn)有 ，和五個(gè)。 所以 ， 由 得 ，即要求 ， 所以 ， ，為歸一化常數(shù)， ；在阱外波函數(shù)為零。 5. 解：在球坐標(biāo)中，梯度坐標(biāo)為 。 所以光子的波長(zhǎng)為： ，當(dāng)動(dòng)量為零時(shí)，波長(zhǎng)最大，則。于是 。 爾格，克。 又 ， 。 ：在的表象中， ， 。：設(shè)在和的共同表象中，的本征函數(shù)為，為所對(duì)應(yīng)的本征值，本征方程為： ， 即 ， ，齊次方程有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即 ，由此得，得本征值為。： ， ， 代入算符平均值公式： ， ， 又因?yàn)椋?， 所以有： 。 ：因?yàn)? ，所以 。 所以力學(xué)量的矩陣的主對(duì)角線元素為實(shí)數(shù)；非主對(duì)角線行列與行列的元素互為共軛復(fù)數(shù)。 ： 。 10. 證明： ， 據(jù)， 。另外，球坐標(biāo)中梯度算符為 。 由的任意性，所以 ，即此兩算符對(duì)易。 此題得證。這就是厄米算符本征函數(shù)的正交、歸一性。因?yàn)椋? 是厄米算符：設(shè)厄米算符的本征值非簡(jiǎn)并，取其中的任意的兩個(gè)本征值和本征函數(shù)：和， 有 ， 按厄米算符的定義，有， 而上式的左端，右邊， 所以。（五）證明題：幾率流密度公式為： 而定態(tài)波函數(shù)的一般形式為： 將此式代入上式得：，所以。30．，所以稱為粒子的湮滅算符 稱為粒子的產(chǎn)生算符。25．量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象26．量子力學(xué)中Q的本征函數(shù)有無(wú)限多，以這些本征函數(shù)為基矢所張成的無(wú)限維的函數(shù)空間，在數(shù)學(xué)中稱為希耳伯特空間。20．把粒子限制在三維箱中，再加上周期性邊界條件的歸一化方法稱為箱歸一化21．一般地，如果兩函數(shù)和滿足關(guān)系式式中積分是對(duì)變量變化的全部區(qū)域進(jìn)行的，則我們稱和相互正交。16．一個(gè)最小而不等于零的振動(dòng)，在任何情況下都不消減，大小為，是量子特性。13．波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成比例。9．如果和是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加也是這個(gè)體系的可能狀態(tài)。5．光電效應(yīng)中電子脫出金屬表面所需要作的功。光子是玻色子）4（錯(cuò)，對(duì)稱性與反對(duì)稱性都不隨時(shí)間改變）4（錯(cuò)，只適用于費(fèi)米子系統(tǒng)）4（錯(cuò)，為單態(tài)）4（錯(cuò)，是對(duì)角矩陣）4（錯(cuò)，為兩行一列）50、（錯(cuò)，泡利矩陣的表示與表象的選取有關(guān)）（四）名詞解釋1．凡是Planck常數(shù)h在其中起重要作用的現(xiàn)象都可以稱為量子現(xiàn)象。 67；68；6以為基矢所張成的無(wú)窮維的函數(shù)空間；70；7厄密；7一個(gè)對(duì)角矩陣，對(duì)角元素按本征值排列；7對(duì)角；74；7矩陣的厄密共軛陣等于它的逆矩陣；7本征值；7跡；78；79；80；81；82；8，；8氫原子在外電場(chǎng)作用下譜線發(fā)生分裂的現(xiàn)象；85；86；87；8電子具有自旋；89；90；91；92；93；94；9在全同粒子組成的體系中，交換任意兩個(gè)粒子不改變體系的物理狀態(tài)；9交換；9時(shí)間；9費(fèi)米子；9在費(fèi)米子組成的體系中，不能有兩個(gè)以上費(fèi)米子處于相同的狀態(tài)；100、量子特性。()方向的投影的本征值和所屬本征函數(shù)。，試計(jì)算和的矩陣表示。，電場(chǎng)沿正的方向，試求其定態(tài)能量的精確值。，其中為的能級(jí)，為小實(shí)數(shù)量。，滿足,求：(1)在A表象中，求與的矩陣表示，并求的本征值和本征函數(shù)。18. 氫原子處于基態(tài)，求最可幾半徑和動(dòng)能平均值。，勢(shì)能為，求粒子的能級(jí)和定態(tài)波函數(shù)()。（六）計(jì)算題(為Boltzman常數(shù))，求時(shí)氦原子的波長(zhǎng)。22. 在表象中，算符，試證明其本征值為。，試證明力學(xué)量平均值公式在表象中的矩陣表示是，其中。，和的平均值等于零。，則算符在歸一化波函數(shù)中的平均值為，證明，其中。，三個(gè)泡利矩陣相乘的結(jié)果為單位矩陣。，光子是費(fèi)米子。，且與對(duì)易，則與對(duì)易。，諧振子不存在零點(diǎn)能。，這純屬于 。 對(duì)稱性。 。 。 。 。 。,力學(xué)量算符在自身表象中的表示是 。，其相應(yīng)本征函數(shù)為，則任意歸一化波函數(shù)可寫(xiě)為，則在表象中的表示是 。 。 得到的。，則粒子動(dòng)量的平均值是 。 。 。，其中為的本征函數(shù)系，在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F為其本征值的幾率是 。,其電子的角向幾率分布是 。，這是 場(chǎng)所特有的。32. 。 。 。，和分別是粒子的幾率密度和幾率流密度矢量，則的物理意義是 。 。 。，其De Broglie波的波長(zhǎng)是 。，其動(dòng)能為，其德布羅意波長(zhǎng)為 。量子力學(xué)習(xí)題(