判定平行四邊形五種方法-資料下載頁
2025-08-05 03:35本頁面
【正文】 ，考慮采用“兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”例3 如圖3，在□ABCD中，AC、BD相交于O，EF過O分別交AD、BC于E、F，GH過O分別AB、CD交于G、H．試說明四邊形EGFH是平行四邊形．圖3解：在□ABCD中，因為AB//CD，所以∠1=∠2，因為OA=OC，∠3=∠4，所以△AOG≌△COH，所以O(shè)G=OH，同理OE=OF，所以四邊形EGFH是平行四邊形．構(gòu)造平行四邊形解題山東 鄒殿敏平行四邊形是一種特殊的四邊形，它的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分．許多幾何問題可以通過添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形加以解決．一、求線段的長例１如圖1，在正△ABC中，P為邊AB上一點，Q為邊AC上一點，且AP=CQ．今量得A點與線段PQ的中點M之間的距離是19cm，則P點到C點的距離等于 cm．B D CPAMQ圖1分析：作QD//AB，交BC于點D，連接PD，MD．由△ABC為正三角形，易知BP=BD，AP=DQ，所以四邊形APDQ為平行四邊形．所以AMD是平行四邊形APDQ的對角線．所以AD=2AM=219=38（cm）．由△ABD≌△CBP可得PC=AD．所以PC=38cm．E B CA D圖2二、證明線段相等問題例2 如圖2，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延長CB到E，使EB=AD，連接AE．求證：AE=AC．分析：連接BD．由AD與BE平行且相等，易知四邊形AEBD是平行四邊形，所以BD=AE．因為AC=BD，所以AE=AC．三、證明線段和差問題例3 如圖3，△ABC中，D，F(xiàn)是AB邊上兩點，且AD=BF，作DE//BC，F(xiàn)G//BC，分別交AC于點E，G．求證：DE+FG=BC．分析：作GH//AB交BC于點H．則四邊形BHGF是平行四邊形．所以GH=BF=AD，F(xiàn)G=BH．因為DE//BC，GH//AB，所以∠1=∠C，∠A=∠2．所以△ADE≌△GHC．所以DE=HC．因為BH+CH =BC，所以DE+FG=BC．B H CF G2D 1 EA圖3EGOA DB F C圖4四、證明線段倍分問題例4 如圖4，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上一點，且CE=DC，連接AE，分別交BC，BD于點F，G，連接AC交BD于O，連接OF．試說明：AB=2OF．分析：連接BE．易知四邊形ABEC為平行四邊形．由“平行四邊形的對角線互相平分”這一性質(zhì)可得BF=CF，AO=OC，所以O(shè)F為△CAB的中位線，從而得出AB=2OF．五、證明兩直線平行問題例5 如圖5，△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊的中點，M，N是AC的三等分點，EM，F(xiàn)N的延長線交于點D．求證：AB//CD． 分析：連接BD交AC于點O，連接BM，BN． 由AE=BE，AM=MN可得ED//BN；由BF=CF，MN=NC可得BM//FD．所以四邊形BMDN是平行四邊形．所以O(shè)B=OD，OM=ON．所以O(shè)A=OC．由此可得出四邊形ABCD是平行四邊形．所以AB//CD．NHGFE2B D C1 MA3圖6MEB F CA DNO圖5六、證明兩直線垂直問題例6如圖6，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M為FH的中點．求證：MA⊥BC．分析：設(shè)MA的延長線交BC于點D，延長AM至點N，使MN=AM，連接FN，HN．則四邊形AHNF為平行四邊形．所以FN=AH=AC，∠AFN+∠FAH=180176。．因為∠BAC+∠FAH=180176。，所以∠AFN=∠BAC．因為AF=AB，所以△AFN≌△BAC．所以∠1=∠2．因為∠1+∠3=90176。，所以∠2+∠3=90176。，所以∠ADB=90176。．從而得出MA⊥BC．12 / 12
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