概率論與統(tǒng)計(jì)4-1大數(shù)定律-資料下載頁(yè)
2025-08-04 17:30本頁(yè)面
【正文】 a, b]變?yōu)? z 軸上 [0, 1], 故不妨設(shè) a ? 0, b ? 1. 例 4 O y x y＝ f(x) A 1 1 考慮幾何型隨機(jī)試驗(yàn) E:向矩形 0? x ? 1, 0? y ? 1 中 均勻分布地?cái)S點(diǎn) , 將 E獨(dú)立地重復(fù)做下去 , 以 A表示 此矩形中曲線 y ? f (x)下的區(qū)域 , 即 A={(x, y):0 ? y? f (x)。 x?[0, 1]} 并定義隨機(jī)變量序列 ????反之中次擲的點(diǎn)落于第,0,1 AkXk則 {Xk: k?1}獨(dú)立同分布 , 而且 E(Xk) ? P(Xk ? 1) ? |A| ? ? ? xxf d10?|A|表示 A的面積 , 由 貝努里大數(shù)定理 知 ? ? ? ? xxfXEXn kPnkk d?? ?? ???1011這表示當(dāng) n充分大時(shí) , 前 n次試驗(yàn)中落于 A中的點(diǎn)數(shù) ??nkkX1除以 n后 , 以任意接近于 1的概率與 ? ? xxf d?10近似 . 這種近似計(jì)算法叫 蒙特卡洛 (MonteCarlo)方法 . 四個(gè)大數(shù)定理 ?????????辛欽大數(shù)定理泊松大數(shù)定理貝努里大數(shù)定理切比謝夫大數(shù)定理內(nèi)容小結(jié) 頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ) , 而貝努里大數(shù)定理以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性 . 設(shè) ?Xn?為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 , 其共同分布為 .2,1,21)2(2 ???? kkXp kkn例 31 試問(wèn) ?Xn?是否服從大數(shù)定律 ? ?????? ???????? 6π12)( 21212kkkkn kkXE即 E?Xn?存在 , 由 辛欽大數(shù)定律 知服從大數(shù)定律 . 解 備用題 貝努里 (Jacob Bernoulli) 16541705 提出貝努里大數(shù)定理 , 建立了貝努里概型 . 在無(wú)窮級(jí)數(shù)理論、變分法和概率論等反面都有貢獻(xiàn) . 瑞士人 , 貝努里家族的三大杰出的數(shù)學(xué)家之一 . 首先發(fā)展無(wú)窮小分析 , 1960年提出懸連線問(wèn)題 ,首創(chuàng)積分“ integral”這一術(shù)語(yǔ) . 切比謝夫 (Pafnuty Chebyshev) 18211894 俄國(guó)數(shù)學(xué)家、機(jī)械學(xué)家 . 對(duì)數(shù)論、積分理論、概率論和力學(xué)都有很大貢獻(xiàn) . 證明了貝爾特蘭公式 , 關(guān)于自然數(shù)列中素?cái)?shù)分布的定理 , 大數(shù)定律的一般公式以及中心極限定理 . 創(chuàng)立了切比謝夫多項(xiàng)式 . 辛欽 (Aleksandr Yakovlevich Khinchin) 18941959 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 , 現(xiàn)代概率論的奠基人之一 . 辛欽在函數(shù)的度量理論、數(shù)論、概率論、數(shù)學(xué)分析、信息論等方面都有重要的研究成果 . 他最早的概率論成果是貝努里試驗(yàn)序列的重對(duì)數(shù)律 .
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