三角與平面向量中檔題復(fù)習(xí)(學(xué)生版)-資料下載頁(yè)
2025-08-04 10:50本頁(yè)面
【正文】 所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為4. 在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅱ）的最小值。.解:點(diǎn)M的軌跡方程為: + =1 (x1,y2) (Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ , ∴| |2= x2－1++5≥4+5=－1= ,即x=1時(shí),上式取等號(hào). 故||的最小值為3.5. 已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且＝λ（λ＞0）．過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為Ｍ．（Ⅰ）證明為定值；（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， 將①式兩邊平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，拋物線方程為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x．所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)＝(，－1)． ……4分所以＝(，－2)(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0所以為定值，其值為0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S＝|AB||FM|．|FM|＝＝＝＝＝＋．因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．于是 S＝|AB||FM|＝(＋)3，由＋≥2知S≥4，且當(dāng)λ＝1時(shí)，S取得最小值4．6． 已知點(diǎn)，.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知?jiǎng)狱c(diǎn) P 的軌跡是以 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí) 半軸長(zhǎng)又半焦距 c=2，故虛半軸長(zhǎng)所以 W 的方程為, （Ⅱ）設(shè) A，B 的坐標(biāo)分別為, 當(dāng) AB⊥x軸時(shí),從而從而當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立,消去y得故 所以 .又因?yàn)?所以,從而綜上,當(dāng)AB⊥軸時(shí), 取得最小值2.17
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