【正文】 P x t?根 據(jù) 第 的 單 位 脈 沖 函 數(shù) 的 定 義 ， 如 果 令 則移 動 集 中 力 為 可 以 表 示 為( , ) = ( ) ( )P x t x v t P t? ? （ ） 5 . 3 7因 此 ， 振 動 方 程 式 （ ） 為4 5 24 4 2 ( ) ( )sy y y yE I c m c x v t P tx x t t t?? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? （ ） 利 用 振 型 分 解 法 求 解 上 述 方 程 時 ， 令 位 移 反 應(yīng) 為1( , ) ( ) ( )iiiy x t Y x q t??? ? （ ） 0( ) = s in ,0 . 5 .( , ) ( )iiiY x i x lM m l D ir a cP x v t t P t???對 于 等 截 面 的 簡 支 梁 ， 振 型 函 數(shù) 廣 義 質(zhì) 量根 據(jù) 函 數(shù) 的 第 二 個 特 性 ， 集 中 荷 載所 對 應(yīng) 的 廣 義 荷 載 為00( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )s in ( )lli i iP t Y x P x t d x Y x x v t P t d xi v tPtl??? ? ???? （ ） 故 按 照 式 （ ） 得 到 移 動 荷 載 作 用 下 第 i 個 振 型 的 廣 義坐 標 方 程 為2 2( ) 2 ( ) ( ) s i n ( )i i i i i ii v tq t q t q t P tm l l?? ? ?? ? ? （ ） D u h a m e l利 用 積 分 ， 可 以 得 到 其 通 解 為()0di2( ) = ( ) s i n s i n ( )iit ti i d ii v tq t P e t dm l l? ? ??? ? ? ???? ?? （ ） 5 . 6 1( , )y x t代 入 式 （ ） ， 可 得 移 動 荷 載 作 用 下 簡 支 梁 的 位 移 反 應(yīng)為()0121( , ) = s i n ( ) s i n s i n ( )iin t ti d ii dii x i v ty x t P e t dm l l l? ? ??? ? ? ? ????????? ? （ ） jv如 果 梁 上 有 多 個 集 中 的 移 動 荷 載 以 不 同 的 速 度 運 動 ， 則 體 系的 位 移 反 應(yīng) 改 寫 為()01121( , ) = s i n ( ) s i n s i n ( )iinm t ti d iij dii x i v ty x t P e t dm l l l? ? ??? ? ? ? ??????????? ? （ ） 5 . 8 板 的 橫 向 自 由 振 動分 布 參 數(shù) 體 系 不 僅 包 括 二 維 梁 ， 也 有 三 維 的 板 。 本 節(jié)討 論 小 變 形 彈 性 薄 板 的 橫 向 自 由 振 動 問 題 。( , )a b hE x y zu v wp x y?如 圖 所 示 ， 一 個 以 彎 曲 變 形 為 主 的 等 厚 度 矩 形 薄板 ， 其 邊 長 與 厚 度 分 別 為 ， 和 ， 材 料 的 彈 性 模 量 和泊 松 比 分 別 為 、 ， 與 坐 標 軸 ， ， 對 應(yīng) 的 位 移 分 別為 ， ， 。 由 彈 性 力 學 可 知 ， 薄 板 在 表 面 分 布 荷 載作 用 下 的 靜 力 平 衡 方 程 為4 4 44 2 2 42 ( , )w w wD p x yx x y y??? ? ?? ? ???? ? ? ??? （ ） 321 2 ( 1 )EhDD???其 中 為 板 得 抗 彎 剛 度 ，( , )p x yzw當 板 做 自 由 振 動 時 ， 在 板 上 沒 有 外 載 荷 ， 但 是 根 據(jù) 動 平 衡原 理 ， 可 以 將 薄 板 自 由 振 動 時 的 慣 性 力 當 做 外 載 荷， 并 注 意 到 慣 性 力 的 方 向 與 板 沿 方 向 的 位 移 相 反 ， 則 有2222( , , )wwp x y t h mtt???? ? ? ???32,[ ] [ ] [ ] [ ]mM L M L???式 中 ， 分 別 為 板 得 密 度 與 分 布 質(zhì) 量 ， 它 們 的 量 綱 分 別為 和 。 （ ） 5 . 1 0 8將 上 式 代 入 到 式 （ ） 得 到 彈 性 薄 板 的 自 由 振 動 方 程 為4 4 4 24 2 2 4 22 + 0w w w m wx x y y D t? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?5 . 1 1 0式 （ ） 為 四 階 齊 次 偏 微 分 方 程 ， 可 用 分 離 變 量 的 方 法求 解 。 設(shè) 解 得 形 式 為( , , ) ( , ) ( )w x y t W x y q t?5 . 1 1 0代 入 式 （ ） 后 ， 可 以 得 到 兩 個 微 分 方 程 。 （ ） （ ） 4 4 4 24 2 2 420W W W mWx x y y D?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?222()( ) 0d q tqtdt???0x x a???式 中 ， 為 薄 板 的 自 振 頻 率 。由 于 四 邊 簡 支 板 在 邊 界 處 的 豎 向 位 移 與 彎 矩 均 為 0 ， 所 以 有當 及 時220 , 0WWx???? （ ） （ ） 0,y y b??當 時220 , 0yWW????( , )W x y所 以 ， 薄 板 的 振 型 的 解 為( , ) s in s in ( , 1 , 2 , 3 , )i j i j i x j yW x y A i jab??? ? ? ? ?( , ) ( , ) ,ijW x y i j xi y j上 式 中 ， 可 以 稱 為 振 型 這 樣 的 振 型 表 示 沿 方 向有 個 半 波 ， 沿 方 向 有 個 半 波 的 一 種 繞 曲 面 。 （ ） . 1 . 1 ( , )ijW x y將 式 （ 5 1 4 ） 代 入 式 （ 5 1 2 ） 并 消 去 ， 得 到 頻 率 方 程24 2220i ij j ma ab b D? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???( , ) ijij ?解 之 ， 得 到 與 振 型 相 對 應(yīng) 的 圓 頻 率 為22222=iji j Da b m????????? （ ） （ ） 5 . 1 1 3又 因 為 方 程 （ ） 的 解 為( ) s in ( )q t C t????5 . 1 1 5 5 . 1 1 4綜 合 式 （ ） 和 式 （ ） 。 可 得 四 邊 簡 支 板 得 通 解 為11( , , ) s i n s i n s i n ( )i j i j i jiji x j yw x y t A tab?? ??????????下 面 對 正 方 形 薄 板 這 種 簡 單 的 形 式 進 行 討 論 。 （ ） （ ） ,ab ?由 于 對 正 方 形 薄 板 ， 有 所 以 板 的 頻 率 解 式 （ ）可 簡 化 為2222()i j j iDijam??? ? ? ?1 , 2ij??可 見 ， 正 方 形 薄 板 具 有 頻 率 重 合 的 現(xiàn) 象 ， 但 是 振 型 (i,j) 與振 型 （ j,i ） 卻 是 兩 個 不 同 的 振 型 。例 如 ， 當 時 ，21 2 2 1 25 Dam??? ?? （ ） （ ） 而 相 應(yīng) 的 振 型 曲 面 卻 分 別 是1 2 2 122( , ) s i n s i n , ( , ) s i n s i nx y x yW x y W x ya a a a? ? ? ???12215 . 1 7 ( , )( , )W x yW x y圖 是 正 方 形 薄 板 的 振 型 圖 ， 從 圖 中 可 以 明 顯 看 出與 雖 然 在 形 式 上 是 相 似 的 ， 但 是 它 們 的 振 動 方 向 卻 是互 相 垂 直 的 。 （ ）