高數(shù)復(fù)習(xí)指南模板-資料下載頁(yè)
2025-08-03 07:47本頁(yè)面
【正文】 ，由二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).【評(píng)注】 本題綜合考查了特征值、特征向量、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型以及方程組求解等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，特別是第三部分比較新穎. 但仔細(xì)分析可以看出，每一部分均是大綱中規(guī)定的基本內(nèi)容. 完全類(lèi)似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類(lèi)）【（2）】，【】（21）（本題滿(mǎn)分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相當(dāng)于告之B的每一列均為Ax=0的解，關(guān)鍵問(wèn)題是Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣A的秩.【詳解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k, 則r(B)=2, 于是r(A), 顯然r(A), 故r(A)=1. 可見(jiàn)此時(shí)Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為3r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無(wú)關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0 的通解為：為任意常數(shù).(2) 若k=9，則r(B)=1, 從而1） 若r(A)=2, 則Ax=0的通解為：為任意常數(shù).2） 若r(A)=1,則Ax=0 的同解方程組為：,不妨設(shè),則其通解為 為任意常數(shù).【評(píng)注】 AB=O這類(lèi)已知條件是反復(fù)出現(xiàn)的，應(yīng)該明確其引申含義：1）B 的每一列均為Ax=0的解；2）本題涉及到對(duì)參數(shù)k及矩陣A的秩的討論，這是考查綜合思維能力的一種重要表現(xiàn)形式，今后類(lèi)似問(wèn)題將會(huì)越來(lái)越多.完全類(lèi)似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類(lèi)）【】, 【】（22）（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II）的概率密度【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度.【詳解】 （I） 關(guān)于X的邊緣概率密度== =關(guān)于Y的邊緣概率密度== = （II） 令，1） 當(dāng)時(shí)，；2） 當(dāng)時(shí)， =。 3) 當(dāng)時(shí)，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：【評(píng)注】 本題屬基本題型，只需注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，一般都是通過(guò)定義用分布函數(shù)法討論.完全類(lèi)似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類(lèi)）【~39】, 【】（23）（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)為來(lái)自總體N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差【分析】 先將表示為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量求和，再用方差的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；求與的協(xié)方差，本質(zhì)上還是數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，同樣應(yīng)注意利用數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì).【詳解】 由題設(shè)，知相互獨(dú)立，且，（I） = =（II） = = = = =【評(píng)注】 通過(guò)定義求隨機(jī)變量的數(shù)字特征是基本要求，也是到目前為止考查最多的情形，但讀者還應(yīng)注意利用數(shù)字特征的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行分析討論，同樣是求解數(shù)字特征的一個(gè)重要途徑.本題為文登學(xué)校輔導(dǎo)班上講授過(guò)的原題（原題求相關(guān)系數(shù)，剛好是本題的兩部分，請(qǐng)參見(jiàn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分筆記）.16
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