【正文】 ? ??? 41. 求冪級數(shù) ???1 2n nnnx的收斂域與和函數(shù) 解 設(shè) ???? 1 2)( n nnnxxf nnxn??? ???????1 21 先求 ???? 1)( nnntts的表達式及收斂域 )32()( 32 ?????? ?tttts ????? 21 tt 1|| 1 1 ??? tt ? ?1,1 )1l n(1)()( 0 0 ?????????? ?? tttdtdttststt ? ?2,2 21ln)( ???????? ???? xxxf 即 ?????? ?? xxf 22ln)( 42. 將324)( 2 ??? xxxf展為 x 的冪級數(shù)，并求其收斂域 解 4 1 1()( 1 ) ( 3 ) 1 3fx x x x x? ? ?? ? ? ? 1 1 1()13 1 3fx xx?? ? ?? ??????? 2323 1( 1 ) 13 3 3 3x x xx x x ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 收斂域 : 1|| ?x 且 13??x即 1|| ?x 。 43. 求冪級數(shù) ?? ????????? nxnnxx )1(! 1)1(!23)1(21 2的收 斂域與和函數(shù)。 解 先令 ?????? 32 !34!2321)( ttttf 則： ??????? 432 0 !31!21)( ttttdttft tet?? ???||t ??????? || )( tetetf tt ??????? 2)1(!23)1(21 xx )1( ?? xf 1)2( ??? xex ???|| x 44. 求級數(shù) ?????1 2)1()1(n nn nn 的和 解 設(shè) ??? ?? 1 )1()( nnxnnxf 則： ))1(()(11??????nnxnnxxf 記 11 )1()(???? ??nn xnnxg 則 ?? ?? ?? 1 0 )1()( n nx xndxxg 1|| 1))((243211 0 0 ???????? ?? ? ??? xxxxxxxdxdxxgnnx x ? xxxx ?????? ??? 1 1)1(1 112 1|| )1( 21 1)1()( 3 ?????????? ?????? xxxxxg 3)1( 2)( xxxf ??? 所求級數(shù)的和27821 ?????????? f 45. 設(shè)級數(shù) ???12n na收斂，試證級數(shù) ???1nnna 將收斂 證明 22|| 12 n na ann?? 而21n?和 2na? 收斂 nan ||2?? 收斂 nan?? 也收斂。 46. 設(shè) 0 1()1 1xxfx x ????? ? ???，它的正弦級數(shù)為 ???1 sinn n nxb，求等式???? 1 sin)( n n nxbxf 成立的區(qū)間。 解 )()( xfxs ? , ? ??,0?x 47. 設(shè) )(xf 是周期為 2 的函數(shù)，且在 ]1,1[? 上， 1 1 0()1 0 1xfx x? ? ? ??? ? ???，將 )(xf 展為付氏級數(shù)。 解 設(shè) )s i nc os(2~)( xnbxnaaxfnno ?? ???? 顯然 ),2,1,0( 0 ??? na n ??? 1 1 sin)( x dxnxfb n ? 1 01 0 2 c o s 22 s in | ( 1 ( 1 ) )nn nxb n x d x nn?? ??? ? ? ? ?? ??????奇偶nnnb n 4 0? 4 1 1( ) ( ) sin sin 3 sin 5 35( 1 , 2 , )f x s x x x xx k k? ? ?? ??? ? ? ? ?????? ? ? ? 48. 試求 2)( xxf ? 在 ],[ ??? 上的付氏級數(shù)并求出 62? 的級數(shù)表達式 解 對 )(xf 作周期延 拓 后，設(shè) ?? ??1 )s i nc os(2~)( xbnxaaxf nno ，則 0?nb 。 2 20 0223a x d x? ????? ),3,2,1( )1(4c os22 0 2 ????? ? nnnx dxxann ?? 由 f 在 ),( ??? 內(nèi)連續(xù)， ? ? )()0()0(21 2 ???? ??????? fff ? ?221222221122 2 2 21( 1 ) ( ) 4 c os ,3( 1 ) 4 4 c os331 1 1 116 2 3nnnnnnf x nx xnnnnnn?????????????????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 22 2 2212 2 2 2.1 1 118 3 5 ( 2 1 )1 1 1 ( 1 )11 2 2 3 4nnn?? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?注 還 可 以 推 出 :== 49. 將 ||)( xxxf ?? 在 ]1,1[? 展為付氏級數(shù)，并作出和函數(shù)的圖形 解 ??? ?? ???? 10 2 01 0)( xx xxf 設(shè) ?? ??10 )s i nc os(2~)( xbxnaaxf nn ?? 10 0 21a xdx??? ?? ?? 1 0 1 0 s i n2c os2 xxdnx dxnxa n ??? ????? ????? ?奇偶nnnxnnx d xnna n 4 0c o s2s i n22210221 0 ????? 1 1 0 00 22 sin c o s 4 nnb x n x d x x d n xn nn?????? ?? ? ? ????? 偶奇 且 ? ?1,1 )()( ??? xxfxs 和函數(shù)的圖形 略 50 將 1( ) s in , [ 0 , ]24f x x x? ?? ? ? 展 成 余 弦 級 數(shù) . 解 00 02 1 2( s in ) ( c o s ) 02 4 2 4a x d x x ?? ? ? ???? ? ? ? ?? 00001121( si n ) c os2410 ( si n( 1 ) si n( 1 ) ) ,41 c os c os()4 1 11 1 ( 1 ) 1 ( 1 )()4 1 101( 1 ) ( 1 )nnna x nx dxn x n x dxxxnnnnnnn??????????? ? ? ? ?????? ? ? ???????? ???????奇n 偶 1 π c o s 2 x c o s 4 x c o s 6 xs in x x [ 0 , π ]2 4 1 3 3 5 5 7\ = + + + ?鬃 ? πx = ,21 π 1 1 12 4 1 3 3 5 5 7π 1 1 1 14 2 1 3 3 5 5 7π 1 1 114 3 5 7. = + + +鬃 ?= + + 鬃 ?= + +注取 可 得比 較 :此 處 得 到 的 公 式 收 斂 速 度 快 得 多