[理學(xué)]高數(shù)下總復(fù)習題解-文庫吧資料
2025-01-15 01:21本頁面
【正文】 在 “行者 ”的左手，取 “+”。 解 ? 在 xoy 平面的投影區(qū)域 1)1( 22 ??? yxD xy dxdyds 2? 11)()()),(,( 22222244 ???????? yxxyxyyxyxzyxf ?212),( ???? ????? xyD dx dydszyxfI 26. 求球面 2222 azyx ??? 在柱面 022 ??? axyx 內(nèi)部的表面積。 解 ? 如圖示 21 ????? , 1:229。 23. 計算 I=? ?C dsyx )(，其中 C 是以 O（ 0， 0）、 A（ 1， 0）、 B（ 0，1）為頂點的三角回路。 解 22 2 2 1 1 111xx x yI d x d y z d z?? ? ?? ? ? ? r d zzdrdIr ???? 1102 0 ? ?柱 ??????? ??? dddIr s i nc os 2c o s1402 0 ????球 22. 計算 I= 222y z ds? ?? 其中 ? 是 x2+y2+z2=a2與 x=y 相交 的圓周。曲面 4222 ??? zyx 和 )(3 22 yxz ??的交線（消 z）在 122 ??yx （柱面）上： ∴ ?在 xoy 平面上的投影區(qū)域為 122 ??yx ∴ I 2 2 2 222 2 2 22224 x y 1 1 x 4 x y3 ( x y ) 1 1 x 3 ( x y )x y 1 d x d y f ( x , y , z ) d z d x d y f ( x , y , z ) d z + ++? =蝌 蝌 蝌直 2 2 26 0 0 0 ( s in c o s , s in s in , c o s ) s ind d f r d?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?球 r dzrrfdrd rr?? ?? 2432 0 1 0 )s i n,c os( ????柱 19. 求球體 x2+y2+z2 ≤R2 與 x2+y2+z2≤2Rz的公共部分體積 . 解 ΩV 1d x d yd z= 蝌 ? 法 1 1R20 D ( z )V d z 1d x d y= 蝌 ?2RR2 D ( z )dz 1dxdy+ 蝌 ? ? ?dzzRdzzRz RzRR ?? ???? )()](2[ 2220 2 ?? = 35πR12 法 2 ??? ?????222222243rRrRRRyxr d zd x d yV 柱 drrRRrRrd R?? ????? 230 22222 0 ][? ? =? 法 3 ???? R dddV 0 23 0 2 0 s in ??????? ????? ???? ddd R s inc os20 2232 0 ???? ???????? ?????????? ??? 2333 4c os32232112????? RR 12521343 3433 RRR ??? ??? 20. 已知三次積分 :I= dzyxdydxR xRyxRyxRR? ? ?? ????????0 0 222 3 2243222222)( (1).確定在柱面坐標下和球面坐標系下的三次積分 。 解 該立體在 yoz 面的投影如圖示，曲面 22 2yxz ?? 和 2223 yxz ??? 的交線（消 z）在柱面： 122 ??yx 上 ∴ 該立體在 xoy 面上的投影區(qū)域為 D： 122 ??yx ∴ ?????? ????? ????2222232 11yxyxD dzdx dydx dy dzV =23)1(3)1(3 1 0 22 0 1 2222 ??? ????? ???? ?? r drrddx dyyxyx 18. 將 三重積分 I= ? ?dvzyxf???? ,分別用直角坐標、極坐標、球面坐標化為累次積分，其中 Ω： x2+y2+z2≤4, z≥ ? ?223 yx ? 。,(222222222czbyaxxyzcbazyxF ?? 解方程組： ???????????????????????????????01021021021222222222222czbyaxFczxyzkFbyxzykFaxyzxkFzyx???? yzzkcxzykbyzxka 3232322 ???? 22261 cbak ? (常數(shù) ) 得222222zcybxa ??,將其代入 條件方程，解得 ,當 ax 33? ， by 33? ， cz 33?時 ,即 M 為 ( ,33a ,33b c33 ) 13. 更換積分順序： （ 1） I= ? ?dyxyxfdx axaxa ???2220 2, （ 2） I= ? ? ? ?dyyxfdxdyx yxfdx x? ?? ? ??? 21)1(1010 022, （ 3） I= ? ? ? ?dyyxfdxdyyxfdx xx ? ?? ? ?? 31)3(010 0212 , 解 （ 1）如圖示 (圖略 ,下同 ) ?? ??? 222 2 0 ),(yaaaya dxyxfdyI dxyxfdya ayaa? ? ??? 0 2 22 ),( dxyxfdyaaaay? ?? 2 2 2 2 ),( （ 2）如圖 ?? ??? 211 1 0 yydyI （ 3）如圖示 dxyxfdyI yy?? ?? 23 1 0 ),( 14. 計算二重積分 I=?? ?Dy dxdye ,2 D：以（ 0， 0），（ 1， 1）和（ 0， 1）為頂點的三角形。 解 設(shè)所求點為 ),( zyxP 過 P 的切平面方程為： P? ： zxX yY Z 14+ + ? 切平面在三個坐標軸上的截距分別為 :zyx 4,1,1 ?目標函數(shù)222 1611),( zyxzyxf ??? 約束： 014222 ???? zyx 令： ???????? ??????? 141611),( 222222 zyxzyxzyxF ?? 解方程組 ??????????????????????????????0140232022022222333zyxFzzFyyFxxFzyx???? 解得?122 ?? yx，?82 ?z ∴ 21??yx ， 2?z ，所求點為 ?????? 2,21,21. 12. 設(shè) M 為橢球面 : 2 2 22 2 2x y z 1a b c+ + =上位于一卦限的點，其切平面與三個坐標面圍成的四面體的體積最小，求 M 點。 解 不妨設(shè)目標函數(shù) 22 )8()2(),( ???? yxyxf 條件 為 ： xy 42? 作輔助函數(shù) )4()8()2(),( 222 yxyxyxF ?????? ?? ???????????????????????????)4:( 0402)8(204)2(222 yx：yxFyyyFxxF即條件??? 解 得： )1(2 ???x ， ???18y ∴ )1(8)1( 64 2 ?? ??? 解得： 1??? ∴ 最小值 點 為（ 4， 4） ∴ 20m in ?? fd 注：本題 中直接要 求的距離函數(shù) 是 : 22 )8()1(),( ???? yxyxd 與解法中的2( , )f x y d? 有相同的極值點，但 ),( yxf 的表達式更 便 于數(shù)學(xué)上的 處理 ， 比 如 求 f 比 d 的導(dǎo)數(shù)要簡單些。 解 設(shè) ( , , )P x
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