【正文】 ?????? xxxxxxxxxxy ? ? ? ? 111 2112 1 22 ???????? xxxx． 另解 ? ?111 11 121)1l n()1l n(2139。 239。???????? ??????????? ???? xxxxxy． (15) )39。(s i n)s i n2(22ln)39。(s i n22ln39。 22 s i n2s i n xxxy xx ??????? xxx xx 2s i n22lnc o s)s i n2(22ln 22 s i ns i n ?????? ． (16) xxxxxxxy 4c s c42c os2s i n 2)]2(s e c2[2t a n1)39。2(t a n2t a n139。 2 ?????? ． (17) xxxxxy 6s i n3)3c o s3()3s i n (2)39。3( s i n3s i n239。 ????? ． (18) ? ? )39。12(s i ns i n39。 2121239。1212 2222 ????????? ???????? xxeeeey xxxxxxxx 25 12121212 2222 s i n)1(2)22(s i n ???????? ???????? xxxxxxxx eexxee ． 3 (1) 由于 ? ? 22222 )21(2)(39。 2239。 xxxxx exexeexexf ????? ??????? ，因此 1)21()0(39。 02 2 ??? ?? xxexf ． (2) 由于 ? ?xxxx xxxf4 2ln214 )44(l n4)(39。 2 ???????，因此142ln21)1(39。????xxxf 4 2ln21?? ． (3) 由于2tan42s e c2s e c212tan212tan2tan21)(39。 2239。xxxxxxxf ????????????????? ，因此 2122t a n42s e c239。2???????????xxxf ． (4) 由于 ? ? 39。22221)(39。 axxaxxxf ?????? 222222111 axax xaxx ????????????????， 因此aaxaxaf 3 321)2(39。 22 ????． 4 (1) ? ? )(39。3)39。()(39。)( 323339。3 xfxxxfxfdxdy ???? ． (2) ? ? )39。(c os)(c os39。)39。(s i n)(s i n39。)(c os)(s i n 222239。22 xxfxxfxfxfdxdy ?????? )s i nc o s2()( c o s39。)c o ss i n2()( s i n39。 22 xxxfxxxf ????? )]( c o s39。)( s i n39。[2s i n 22 xfxfx ??? ． (3) ? ? )(39。)()39。()(39。)( 139。 exexexexex xefexexexefxefdxdy ?????????? ?． (4) ? ? ? ? ? ?39。)()(39。39。)( )()()( xfxxfxxfx eefeefeefdxdy ??? )()( )()(39。)(39。 xfxxfxx eefxfeefe ?? ． 26 5 (1) 211s i n1 1c os139。)(s i n 139。)(a rc s i n xyyyxyx ??????． (2) 211s i n1 1s i n139。)(c os 139。)(a rc c os xyyyxyx ?????????． (3) 222 1 1tan1 1s e c139。)(t a n 139。)(a rc t a n xyyyx yx ??????． (4) 222 1 1c ot1 1c s c139。)(c ot 139。)c ot( xyyyxar c yx ?????????． 隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 1 (1) 方程兩邊求導(dǎo) 039。3339。33 22 ???? a xyayyyx ，即 )(39。)( 22 xayyaxy ??? ，因此axy xayy ??? 2239。 ． (2) 方程兩邊求導(dǎo) 39。39。 yxeey yy ?? ， 即 yy eyxe ?? 39。)1( ，因此yyxeey ??139。 ． 另解 方程兩邊求導(dǎo) 39。)1(39。39。 yyeyxeey yyy ????? ， 即 yeyy ?? 39。)2( ， 因此yeyy??239。． (3) 方程兩邊求導(dǎo) )(s e c)39。1(39。 2 yxyy ??? ，即 )(sec39。)(tan 22 yxyyx ????? ，因此)(tan )(sec39。 22yx yxy ????，即 )(csc39。 2 yxy ??? ． 另解 方程兩邊求導(dǎo) )](tan1)[39。1(39。)(s e c)39。1(39。 22 yxyyyxyy ???????? ，即)39。1(39。 2 yyy ?? ，進(jìn)而 )1(39。 22 yyy ??? ，因此 2 2139。 yyy ??? ． (4) 方程 兩邊求導(dǎo) yxeyxyy ???? )39。1(39。 ，即 yeyex yxyx ??? ?? 39。)( ， 因此 yxyx ex yey??? ??39。 ． 27 另解 方程兩邊求導(dǎo) )39。1()39。1(39。 yxyeyxyy yx ????? ?，即 yxyyxy ??? 39。)( ， 因此xyx yxyy ???39。． (5) 方程兩邊求導(dǎo) 039。5122 ??? yyx，即 )0(39。5 22 ??? xyyyx ，因此 )0(539。22 ??? yxyy ． 另解 方程可以變?yōu)?)0(35 ??? xyxyxy ， 方程兩邊求導(dǎo) 39。33539。 xyyy ??? ，即yyx 3539。)13( ??? ，因此 13 3539。 ??? x yy ． (6) 方程兩邊求導(dǎo) 02 39。2 1 ?? yyx，即 )0(39。 ?? xyyyx ，因此xyy?39。． 2 對(duì)方程兩邊求導(dǎo) 039。39。 ???? yeexyy yx ，即 yeyxe xy ??? 39。)( ， 解出 39。y 得xe yey yx ???39。 ．當(dāng) 0?x 時(shí)，則代入方程得 0?y ．因此 139。 000 ???? ??? yxyxx xeyey ． 3 對(duì) 曲線 方程兩邊求導(dǎo) 239。33 22 ?? yyx ，解出 39。y 得223 3239。 yxy ??．因此在點(diǎn) )1,1( 處的切線 斜率為313 3239。 112211 ???????? yxyx yxy ，進(jìn)而切線方程是 )1(311 ???? xy ， 即為023 ??? yx ． 4 (1) 取對(duì)數(shù) xxy lnlnln ? ， 求導(dǎo)數(shù) xxyy ln1lnln39。1 ???， 解出 39。y ?????? ?? xxyy ln1lnln39。， 即 ? ? ?????? ?? xxxy x ln1lnlnln39。． 另 外的書寫方式 由于 ? ? xxx exy lnlnln ?? ，則有 ? ? ? ? ? ? ?????? ???? xxxxxeey xxxxx ln 1lnlnlnlnln39。 39。lnln39。lnln ． (2) 取對(duì)數(shù) xxy ln2ln ? ， 求導(dǎo)數(shù) 2ln239。1 ??? xyy， 解出 39。y )1(ln239。 ?? xyy ， 即 xxxy 2)1(ln239。 ?? ． 28 另 外的書寫方式 由于 xxx exy ln22 ?? ，則有 ? ? ? ? ? ? xxxxxx xxxxxxeey 2239。ln239。ln2 )1(l n22ln2ln239。 ?????? ． (3) 取對(duì)數(shù) )1l n(21)1l n(21lnln xxxy ????? ， 求導(dǎo)數(shù) )1(2 1)1(2 1139。1 xxxyy ??????， 解出 39。y ???????? ????? )1(2 1)1(2 1139。 xxxyy， 即 ???????? ???????? )1(2 1)1(2 111139。 xxxxxxy． (4) 取對(duì)數(shù) )1l n(31)6l n(21)32l n(4ln ?????? xxxy ， 求導(dǎo)數(shù) )1(3 1)6(2 132 839。1 ??????? xxxyy， 解出 39。y ???????? ?????? )1(3 1)6(2 132 839。 xxxyy， 即 ???????? ?????? ???? )1(3 1)6(2 132 81 6)32(39。 34xxxx xxy． (5) 取對(duì)數(shù) yxxy lnln ? ， 求導(dǎo)數(shù) 39。ln39。ln yyxyxyyx ?????， 即 22 ln39。)ln( yyxyyxxxy ??? ， 因此 22lnln39。 xxxy yyxyy ???． 5 (1) 因?yàn)?1211122 ttttdtdxdtdydxdy ?????? ，因 此參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)是參數(shù)方程????????2)1ln( 2tdxdytx ． (2) 因?yàn)????????c o ss in1s inc o s?????ddxddydxdy ，因此參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)是參數(shù)方程 29 ???????????????????c o ss in1s inc o s)s in1(dxdyx ． 6 (1)方程兩邊求導(dǎo) 039。22 ?? yyx ， 再次求導(dǎo) 039。39。)39。(1 2 ??? yyy ，解出 39。39。,39。yy 得yxy?39。，yyy2)39。(139。39。 ?? ，因此 3222139。39。 y xyyyxy ???????????? ， 即32222y xydxyd ??． (2) 方程兩邊 求導(dǎo) 39。39。 yxeey yy ?? ， 再次求導(dǎo) 39。39。)39。(39。239。39。 2 yxeyxeyey yyy ??? ，解出39。39。,39。 yy 得 yyxeey ??139。 ， yyy xe yxeyey ??? 1 )39。(39。239。39。 2，因此 yyyyyyyxexeexexeeey ? ???????? ?????? 1 11239。39。2， 即3222)1( )2( yyyxe xeedx yd ? ??． 另解 方 程 兩 邊 求 導(dǎo) 39。)1(39。39。 yyeyxeey yyy ????? ， 再 次 求 導(dǎo)39。39。)1()39。(39。39。39。 2 yyyyey y ???? ， 解 出 39。39。,39。 yy 得 yey y??239。 ， yyyey y ??? 2 )39。(39。39。39。 2， 因 此yyeyeeyyyy????????? ?????22239。39。2，即3222)2( )3( y yedx ydy? ??． 7 (1) tdtdxdtdydxdy 1??? ，因此參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo) 數(shù) 是??????????tdxdytx122．進(jìn)而3222 11tttdtdxdxdydtddxyd ??? ，即參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo) 數(shù)是?????????322212tdxydtx． (2) tabtatbdtdxdtdydxdy c ots inc os ?????， 因 此 參 數(shù) 方 程 確 定 的 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 是 30 ????????tabdxdytaxcotcos ．進(jìn)而 tabtatabdtdxdxdydtddxyd 32222c s cs i nc s c????? ，即參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是????????tabdx yd