高等數(shù)學(xué)競賽練習(xí)題-資料下載頁
2025-01-15 09:46本頁面
【正文】 不同的,使.分析 由已知條件利用拉格朗日中值定理比較容易想到. 取,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 存在把區(qū)間[0,1]分為與是切入點(diǎn).證明 因?yàn)?取, 由連續(xù)函數(shù)介值定理知,存在,使, 在區(qū)間與上分別用拉格朗日中值定理, 有,那么, 所以,.于是 取(滿足), 由上式即得26. 設(shè)在上連續(xù), 證明:分析 等價(jià)于若能證明 則成立.由于可令.證法1 由于 (1)令, , 則 (2)將(2)代入(1),得證法2 因?yàn)樵谏线B續(xù), 故可令 存在. 于是,則成立.27. 計(jì)算分析 該積分是瑕積分. 積分公式僅當(dāng)兩個(gè)積分都存在時(shí)才成立,否則不一定成立.解 .注:28. 計(jì)算不定積分分析 不定積分的計(jì)算必須掌握三種基本的積分方法(湊微分、變量替換和分部積分),特別是變量替換法,對(duì)一些特殊形式的被積函數(shù)要能熟練運(yùn)用各類特殊變換. 本題被積函數(shù)中含有,即想到用變換這些知識(shí)在學(xué)習(xí)過程中要善于總結(jié).解法1 作變量替換 , , 則有=又因?yàn)樗? 回代變量得,解法2 移項(xiàng)整理得,使分析 有變上限出現(xiàn)的地方常常會(huì)涉及變上限求導(dǎo),在求極限的運(yùn)算中就需要洛必達(dá)法則,但切記用洛必達(dá)法則的條件,而判斷型極限又為確定常數(shù)的值提供了條件.解 因?yàn)槎?所以 (也可以從以下得出:設(shè), 則有 因此, .因?yàn)楫?dāng)時(shí),則對(duì)。當(dāng)時(shí),則對(duì).所以, ,與題設(shè)不符, 得.再由洛必達(dá)法則得與前述同理, 即有,從而易得:因此, 30. 試證:當(dāng)時(shí), 分析 ,關(guān)鍵在于取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使用拉格朗日中值定理.證法1 令=易知由于所以, 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 從而推知當(dāng)時(shí), 由,推知, 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 再由推知, 當(dāng)時(shí)證法2 令則 (當(dāng)),且 所以,當(dāng)時(shí), 。 當(dāng)時(shí), 于是當(dāng)時(shí), 即 證法3 由證法1 有,當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)將在處按拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式展開至,得 當(dāng)時(shí), 。當(dāng)時(shí), 證法4 對(duì)在1與之間用拉格朗日中值定理,有其中介于1與之間, ,即. 于是,27
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