初中數(shù)學(xué)競賽練習(xí)題-資料下載頁
2025-08-15 09:05本頁面
【導(dǎo)讀】表示，這里k是整數(shù).奇數(shù)不會同時是偶數(shù)；兩個連續(xù)整數(shù)中必是一個奇數(shù)一個偶數(shù)；兩個奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個偶數(shù)與一個奇數(shù)的差是奇數(shù)；若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇數(shù)偶；n個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù)；順式中有一個是偶數(shù)，以上性質(zhì)簡單明了，解題時如果能巧妙應(yīng)用，常?？梢猿銎嬷苿?□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.添上正號和負(fù)號不改變其奇偶性，而1+2+3+?偶數(shù)于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù).個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和，這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，b，則a+b=45，又十位數(shù)能被11整除，則a-b應(yīng)為0，11，8+6=14，偶數(shù)位其它三個數(shù)字之和只能是17-14=3，這三個數(shù)字只能是2，1，0.中小正方形“+”號的個數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個變化到另一個.行的第一個數(shù)，又奇數(shù)行的第一個數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個數(shù)位于第四列，不管怎樣走，走在水中時，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見B點必在岸上.
【正文】 整除 . 同樣， q= （ ） 且 ∴ 故 、 102（ n+1） 、 被 除，余數(shù)分別為 1000， 100， 10，于是 q 表示式中 括號內(nèi)的數(shù)被 除，余數(shù)為 1987，它可被 1987 整除，所以括號內(nèi)的數(shù)能被 1987 整除，即 q 能被 1987 整除 . 練習(xí) 二 1． 選擇題 （ 1）（ 1987 年上海初中數(shù)學(xué)競賽題）若數(shù)n=2030405060708090100110120130 ，則不是 n 的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是（ ） . （ A） 19 （ B） 17 （ C） 13 （ D）非上述答案 （ 2）在整數(shù) 0、 2? 、 9 中質(zhì)數(shù)有 x 個，偶數(shù)有 y 個，完全平方數(shù)有 z 個，則x+y+z 等于（ ） . （ A） 14 （ B） 13 （ C） 12 （ D） 11 （ E） 10 （ 3）可除盡 311+518的最小整數(shù)是（ ） . （ A） 2 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 311+518（ E）以上都不是 2． 填空題 （ 1）（ 1973 年加拿大數(shù)學(xué)競賽題）把 100000 表示為兩個整數(shù)的乘積，使其中沒有一個是 10 的整倍數(shù)的表達(dá)式為 __________. (2) 一個自然數(shù)與 3 的和是 5 的倍數(shù) ,與 3 的差是 6 的倍數(shù) ,這樣的自然數(shù)中最小的是 _________. (3) (1989 年全國初中聯(lián)賽題 )在十進(jìn)制中 ,各位數(shù)碼是 0 或 1,并且能被 225整除的最小自然數(shù)是 ________. 為整數(shù)的最小自然數(shù) a 的值 . 4.(1971 年加拿大數(shù)學(xué)競賽題 )證明 :對 一切整數(shù) n,n2+2n+12 不是 121 的倍數(shù) . 5.(1984 年韶關(guān)初二數(shù)學(xué)競賽題 )設(shè) 是一個四位正整數(shù) ,已知三位正整數(shù) 與246 的和是一位正整數(shù) d 的 111 倍 , 又是 18 的倍數(shù) .求出這個四位數(shù) ,并寫出推理運算過程 . 6.(1954 年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競賽題 )能否有正整數(shù) m、 n 滿足方程 m2+1954=n2. ：（ 1） 133|（ 11n+2+12n+1），其中 n 為非負(fù)整數(shù) . (2)若將 (1)中的 11改為任意一個正整數(shù) a,則 (1)中的 12,133將作何改動 ?證明改動后的結(jié)論 . 8.(1986 年全國初中數(shù)學(xué)競賽題 )設(shè) a、 b、 c 是三個互不相等的正整數(shù) .求證 :在a3bab3,b3cbc3,c3aca3三個數(shù)中 ,至少有一個能被 10 整除 . 9.(1986 年上海初中數(shù)學(xué)競賽題 )100 個正整數(shù)之和為 101101,則它們的最大公約數(shù)的最大可能值是多少 ?證明你的結(jié)論 . 練習(xí) 參考答案 １．Ｂ．Ｂ．Ａ ２．（１）２ ５ ５ ５ ．（２）２７． ３．由 20xxa 為一整數(shù)平方可推出 a=5． ４．反證法．若是１２１的倍數(shù)，設(shè)ｎ ２ ＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ （ｎ＋１） ２ ＝１１（１１ｋ－１）． ∵ １１是素數(shù)且除盡（＋１） ２ ， ∴ １１除 盡ｎ＋１ １１ ２ 除盡（ｎ＋１） ２ 或１１｜１１ｋ－１，不可能． ５．由 是ｄ的１１１倍， 可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又 是１８的倍數(shù)， ∴ 只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４， ∴ ｄ＝４， 是１９８４． ７．（１）１１ ｎ＋２ ＋１２ ２ｎ＋１ ＝１２１ １１ ｎ ＋１２ １４４ ｎ ＝１２１ １１ ｎ＋１２ １１ ｎ －１２ １１ ｎ ＋１２ １４４ ｎ ＝ ? ＝１３３ １１ ｎ ＋１２ （１４４ ｎ －１１ ｎ ）．第一項可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ ｎ －１１ ｎ ， ∴１３３｜１１ ｎ＋２ ＋１２ ２ｎ＋１ ． （２）１１改為ａ．１２改為ａ＋１，１３３改為ａ（ａ＋１）＋１．改動后命題為ａ（ａ＋１）＋１ ｜ａ ｎ＋２ ＋（ａ＋１） ２ｎ＋１ ，可仿上證明． ８． ∵ ａ ３ ｂ－ａｂ ３ ＝ａｂ（ａ ２ －ｂ ２ ）；同理有ｂ（ｂ ２ －ｃ ２ ）；ｃａ（ｃ ２ －ａ ２ ）．若ａ 、ｂ、ｃ中有偶數(shù)或均為奇數(shù)，以上三數(shù)總能被２整除．又 ∵ 在ａ、ｂ、ｃ中若有一個是５的倍數(shù)，則題中結(jié)論必成立．若均不能被５整除，則ａ ２ ，ｂ ２ ，ｃ ２ 個位數(shù)只能是１，４，６，９，從而ａ ２ －ｂ ２ ，ｂ ２ －ｃ ２ ，ｃ ２ －ａ ２ 的個位數(shù)是從１，４，６，９中，任取三個兩兩之差，其中必有０或 177。 ５，故題中三式表示的數(shù)至少有一個被５整除，又２、５互質(zhì)． ９．設(shè)１００個正整數(shù)為ａ １ ，ａ ２ ， ? ，ａ １００ ，最大公約數(shù)為ｄ，并令 則ａ １ ＋ａ ２ ＋ … ＋ａ １００ ＝ｄ（ａ １ ′＋ａ ２ ′＋ … ＋ａ ′１００ ）＝１０１１０１＝１０１ １００１，故知ａ １ ′，ａ ２ ′，ａ ′１００ 不可能都是１，從而ａ ′１ ＋ａ ′２ ＋ … ＋ａ ′１００ ≥１ ９９＋２＝１０１，ｄ ≤１００１；若取ａ １ ＝ａ ２ ＝ａ ９９ ＝１００１，ａ １００ ＝20xx，則滿足 ａ １ ＋ａ ２ ＋ … ＋ａ １００ ＝１００１ １０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值為１００１
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