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初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽練習(xí)題(參考版)

2024-08-28 09:05本頁(yè)面
  

【正文】 5,故題中三式表示的數(shù)至少有一個(gè)被5整除,又2、5互質(zhì). 9.設(shè)100個(gè)正整數(shù)為a 1 ,a 2 , ? ,a 100 ,最大公約數(shù)為d,并令 則a 1 +a 2 + … +a 100 =d(a 1 ′+a 2 ′+ … +a ′100 )=101101=101 1001,故知a 1 ′,a 2 ′,a ′100 不可能都是1,從而a ′1 +a ′2 + … +a ′100 ≥1 99+2=101,d ≤1001;若?。?1 =a 2 =a 99 =1001,a 100 =20xx,則滿(mǎn)足 a 1 +a 2 + … +a 100 =1001 101=101101,且d=1001,故d的最大可能值為1001 。130 ,則不是 n 的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是( ) . ( A) 19 ( B) 17 ( C) 13 ( D)非上述答案 ( 2)在整數(shù) 0、 2? 、 9 中質(zhì)數(shù)有 x 個(gè),偶數(shù)有 y 個(gè),完全平方數(shù)有 z 個(gè),則x+y+z 等于( ) . ( A) 14 ( B) 13 ( C) 12 ( D) 11 ( E) 10 ( 3)可除盡 311+518的最小整數(shù)是( ) . ( A) 2 ( B) 3 ( C) 5 ( D) 311+518( E)以上都不是 2. 填空題 ( 1)( 1973 年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)把 100000 表示為兩個(gè)整數(shù)的乘積,使其中沒(méi)有一個(gè)是 10 的整倍數(shù)的表達(dá)式為 __________. (2) 一個(gè)自然數(shù)與 3 的和是 5 的倍數(shù) ,與 3 的差是 6 的倍數(shù) ,這樣的自然數(shù)中最小的是 _________. (3) (1989 年全國(guó)初中聯(lián)賽題 )在十進(jìn)制中 ,各位數(shù)碼是 0 或 1,并且能被 225整除的最小自然數(shù)是 ________. 為整數(shù)的最小自然數(shù) a 的值 . 4.(1971 年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題 )證明 :對(duì) 一切整數(shù) n,n2+2n+12 不是 121 的倍數(shù) . 5.(1984 年韶關(guān)初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題 )設(shè) 是一個(gè)四位正整數(shù) ,已知三位正整數(shù) 與246 的和是一位正整數(shù) d 的 111 倍 , 又是 18 的倍數(shù) .求出這個(gè)四位數(shù) ,并寫(xiě)出推理運(yùn)算過(guò)程 . 6.(1954 年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題 )能否有正整數(shù) m、 n 滿(mǎn)足方程 m2+1954=n2. :( 1) 133|( 11n+2+12n+1),其中 n 為非負(fù)整數(shù) . (2)若將 (1)中的 11改為任意一個(gè)正整數(shù) a,則 (1)中的 12,133將作何改動(dòng) ?證明改動(dòng)后的結(jié)論 . 8.(1986 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題 )設(shè) a、 b、 c 是三個(gè)互不相等的正整數(shù) .求證 :在a3bab3,b3cbc3,c3aca3三個(gè)數(shù)中 ,至少有一個(gè)能被 10 整除 . 9.(1986 年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題 )100 個(gè)正整數(shù)之和為 101101,則它們的最大公約數(shù)的最大可能值是多少 ?證明你的結(jié)論 . 練習(xí) 參考答案 1.B.B.A 2.(1)2 5 11090705030cd c= ③ abcd a= ① ab 例 3( 1956 年北京競(jìng)賽題)證明: 對(duì)任何整數(shù) n 都為整數(shù),且用3 除時(shí)余 2。 ② 任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是 3 的倍數(shù),所以它們之積一定可 以被 2 整除,也可被 3 整除,所以也可以被 23=6 整除。 若 9| ,則 9|( a+6+7+9+2),得 a=3。 解 72=89 ,且( 8, 9) =1,所以只需討論 9 都整除 的值。 3) 若 b|a, c|b,則 c|a 4) 若 b|ac,而( a, b) =1(( a, b) =1 表示 a、 b 互質(zhì),則 b|c; 5) 若 b|ac,而 b 為質(zhì)數(shù),則 b|a,或 b|c; 6) 若 c|a, c|b,則 c|( ma+nb),其中 m、 n 為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還可以推廣到更多項(xiàng)的和) 例 1 ( 1987 年北京初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) x, y, z 均為整數(shù),若 11|( 7x+2y5z),求證: 11|( 3x7y+12z)。 若 d 不能整除 a,則記作 d a,如 2|6, 4 6。 a 2 ?? a n =n ② 。 -奇數(shù)和偶數(shù) 整數(shù)中,能被 2 整除的數(shù)是偶數(shù),反之是奇數(shù),偶數(shù)可用 2k 表示 ,奇數(shù)可用 2k+1表示,這里 k 是整數(shù) . 關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù),有下面的性質(zhì): ( 1)奇數(shù)不會(huì)同時(shí)是偶數(shù);兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù); ( 2)奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù);偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù);任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù); ( 3)兩個(gè)奇(偶)數(shù)的差是偶數(shù);一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù); ( 4)若 a、 b 為整數(shù),則 a+b 與 ab 有相同的奇數(shù)偶; ( 5) n 個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù), n 個(gè)偶數(shù)的乘積是 2n的倍數(shù);順式中有一個(gè)是偶數(shù),則乘積是偶數(shù) . 以 上性質(zhì)簡(jiǎn)單明了,解題時(shí)如果能巧妙應(yīng)用,常??梢猿銎嬷苿?. 例 1(第 2 屆 “ 華羅庚金杯 ” 決賽題)下列每個(gè)算式中,最少有一個(gè)奇數(shù),一個(gè)偶數(shù),那么這 12 個(gè)整數(shù)中,至少有幾個(gè)偶數(shù)? □+□=□ ,
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