同濟(jì)大一高數(shù)期中復(fù)習(xí)題-資料下載頁
2025-02-21 15:07本頁面
【正文】 5 , 21 2 3i j kn a P P? ? ? ? ??． 所求平面為 ? ? ? ? ? ?4 1 5 3 2 0 0 4 5 2 1 9 0xyxy zz ? ? ?? ? ? ? ? ? ??． 4 ． 求平行于 x O y 坐標(biāo)面且過點(diǎn) ? ?0 3 , 4 , 7P ?的 平面 的 方程 ． 解： 7z ? ． 5 ． 已知某 平面與 三 個(gè)坐標(biāo)面 在第一卦限內(nèi) 圍成的四面體的體積為 4 ， 且在 x 軸和 y 軸 上的截距 分別 為 2 和 3 ，則 此平面的方程為 [ ] ． (A) 6432 ??? zyx ； ( B) 12432 ??? zyx ； (C) 12346 ??? zyx ； (D) 12643 ??? zyx ． 解： (C) 正確 ． 6 ． 求 過 點(diǎn) ? ?0 1 , 2 ,1M且 垂直于直線 2 3 0 ,:20x y zL x y z? ? ? ??? ? ? ? ??的平面方程 ． 解： 設(shè)直線 L 的方向向量為 s ，則 s 垂直于已知平面的法向量 1n 和 2n ． 所求平面的法向量 n ∥ s ， 故可取 ? ?12 1 2 1 = 1 , 2 , 31 1 1i j kn n n? ? ? ??． 所求的平面的方程為 ? ? ? ? ? ?1 2 2 3 1 0x y z? ? ? ? ? ?，即 2 3 8 0x y z? ? ? ?． 7 ． 求 過 點(diǎn) ? ?0 1 , 1 , 1M 且 平行于直線02 1 0 ,: 5 3 7 0x y zL x y z? ? ? ??? ? ? ? ??的直線 的 對稱式 方程 ． 解： ? ?0 1 2 2 1 1 = 2 , 7 , 1 15 3 1i j ks n n? ? ? ? ? ? ??，取 ? ?0 2 , 7 ,1 1ss ? ? ? ? 1 1 12 7 11x y z? ? ??? ． 8 ． 化直線 的一般式方程??? ???? ???? 01273 ,0352 zyx zyx 為對稱式方程 和 參數(shù)式 方程 ． 解： 令 0 0z ? ， 解 00002 3 ,3 7 1xyxy????? ? ??得 00 23 , 10xy ?? ，即過點(diǎn) )0,10,23( ． 方向向量 ? ?12 1 2 5 = 3 9 , 1 7 , 13 7 2i j ks n n? ? ? ? ???． 對稱式 方程為 2 3 1 03 9 1 7 1x y z?? ???； 參數(shù)式 方程為2 3 3 9 ,1 0 1 7 ,.xtytzt???? ???? ??? 9 ． 已知直線??? ???? ??? 032 ,0: zyx zyxL 和平面 : 2 3 2x y z? ? ? ?，則 L 與 ? [ ] ． (A) 垂直； ( B) 平行； (C) 夾角為 4? ； (D) 夾角為 6? ． 解： 平面的法向量 ? ?2 , 3 ,1n ?? ． 直線的方向向量 ? ?12 1 1 1 = 2 , 3 , 12 1 1i j ks n n? ? ? ? ??． ∵ 2 3 12 3 1????? ， ∴ L ⊥ ? ， (A) 正確 ． 10 ． 指出下列各方程所表示的曲面的名稱 和畫出曲面的圖形 ： ( 1) 22 0x y z? ? ? ； ( 2) 2 2 241x y z? ? ? ； ( 3) ? ? 222 2x y z? ? ? ； ( 4 ) 229z x y? ? ? ； ( 5 ) 2 2 2 1x y z? ? ? ； ( 6 ) 22 2x y x?? ； ( 7 ) 2 2 22 3 6x y z? ? ?； ( 8 ) 2 1xy ?? ． 旋轉(zhuǎn)拋物面 旋轉(zhuǎn)橢球面 圓錐面 上半球面 旋轉(zhuǎn)單葉 雙曲面 圓柱面 橢球面 拋物柱面 11 ． 求旋轉(zhuǎn)拋物面 221 :S x y z?? 與平面 : 2 4 4 0x y z? ? ? ? ?的交線 C 在 xOy 面上的投影 xyC ． 解： 交線 22 ,:2 4 4 0x y zCx y z? ???? ? ? ??消去 z 得投影柱面： 22 2 4 4x y x y? ? ? ?，即 ? ? ? ?22 21 2 3xy? ? ? ?． 交線在 xOy 面的投影 為 ? ? ? ?22 21 2 3 ,:xyCz? ? ? ? ??????
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