北京航空航天大學(xué)大一高數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)-資料下載頁
2025-07-25 17:26本頁面
【正文】 秩為=nr(A)222。r(A)+r(B)163。n。微分方程1，一階微分方程：1可分離變量的微分方程：y’=f(x)g(y)2一階線性微分方程：y’+p(x)y=q(x)p(x)dx233。242。p(x)dxdx+C249。y=e242。q(x)e234。(1)公式法：235。242。(2)242。積分因子法：方程兩邊同乘以u=e‘p(x)dx，則方程變?yōu)?33。e242。p(x)dxy249。=q(x)e242。p(x)dxp(x)dxp(x)dx242。242。ye=q(x)edx+C234。242。235。222。182。p182。q=3全微分方程：p(x,y)dx+q(x,y)dy=0并滿足182。x182。x(1)特殊路徑法：u(x,y)=242。x0p(x,y0)dx+242。y0q(x,y)dx xy182。p=p(x,y)u(x,y)=242。p(x,y)dx+c(y)(2)不定積分法：由182。x對x積分得，再對182。u182。p(x,y)dx=+c’(y)y求微分得182。y182。ydy1dx=222。=p(y)x+q(y)dxp(y)x+q(y)dy4xxy’=f()222。u=222。y’=u+xu’222。xu’=f(u)uyy56y’=f(ax+by+c)222。u=ax+by+c222。u’=a+bf(u)2，線性微分方程：y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)當(dāng)f(x)186。0時，此方程為二階齊次方程。1y’’+p(x)y’+q(x)y=0，當(dāng)y1(x),y2(x)為方程的解求線性無關(guān)時，通解為y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)*y1當(dāng)為y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的一個特解，且y1(x),y2(x)為方程的解求線性無關(guān)時，*y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)+y1為非齊次方程的通解22y’’+p(x)y’+q(x)y=0的特征方程為l+pl+q=0其通解如下：lxlx(1)D=p24q0時y(x)=c1e1+c2e2lx(2)D=p24q=0即l1=l2y(x)=(c1+c2x)e1ax(3)D=p24q0，有共軛復(fù)根a177。bi則y(x)=e(c1cosbx+c2sinbx) 二階常系數(shù)非齊次方程的解y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)1當(dāng)f(x)=pn(x)時，pn(x)為n次多項式*2n(1)當(dāng)0不是特征方程的根時，y(x)=Rn(x)=b0+b1x+b2x+Lbnx*(2)當(dāng)0是特征方程的單根時，y(x)=xRn(x)(3)當(dāng)0是特征方程的重根時，y*(x)=x2Rn(x)ax2f(x)=pn(x)e*ax(1)當(dāng)a不是特征方程的根時，y(x)=Rn(x)e*ax(2)當(dāng)a是特征方程的單根時，y(x)=xRn(x)e*2ax(3)當(dāng)a是特征方程的重根時，y(x)=xRn(x)eax3f(x)=e(pl(x)cosbx+pn(x)sinbx)(1)a177。bi不是特征方程的跟，則有 y*(x)=eax(Rm(x)cosbx+Sm(x)sinbx)其中m=max{l,n}*ax(2)a177。bi是特征方程的跟時，y(x)=xe(Rm(x)cosbx+Sm(x)sinbx)其中m=max{l,n}
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