【正文】 ,2(C分析：應用格林公式 補充： CABCL ?:1? ???? 1 )( co s)12(L yy dyxeydxexy??????1)( c o s)12(LLyy dyxeydxexyI?? ???Dyy dxdyexe )]12([D? ??? 10 )2( c o s dyey y? ? ?? 12 )12( dxex?? ??? 21012 y dxxdy )221( s i n e??? )318( e?? 11s in ??? e2xy ?五、數項級數收斂性判別，條件收斂與絕對收斂、 冪級數的收斂域，冪級數求和函數。 （ 1）數項級數收斂性判別 1. 正項級數 比較判別法，比值判別法，根值判別法， 收斂的必要條件 幾何級數、 P 級數和調和級數 2. 交錯級數： 萊布尼茨定理 3. 任意項級數： 絕對收斂和條件收斂。 任意項級數 ???1nnu 收斂性判斷的一般步驟： （ 1）檢驗 （ 3）用正項級數審斂法檢驗 ??? 1||nnu 是否收斂？ 則原級數絕對收斂，從而收斂， （ 4）若 ??? 1||nnu 發(fā)散， 但是用比值或根值法判斷的 則原級數也發(fā)散。 0lim ??? nn u是否成立？ 若否，則原級數發(fā)散 若是或 0lim ??? nn u難求，則進行下一步； 若是， 否則，進行下一步； （ 2）若原級數為正項級數或交錯級數，則可用正項級數 或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步 （ 5）用性質或其它方法。 （ 2）冪級數的收斂半徑和收斂域 求冪級數 （ 1）利用極限 ?????||l i m 1nnn aa（ 2）判定冪級數在端點 Rx ??確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間 處的收斂性， ??? 0nnn xa收斂域的一般步驟： （ 3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。 ),( RR?????n nna ||l i m或??1R說明 （ 1） 冪級數中不能出現(xiàn)“缺項”。 ????00 )(nnn xxa（ 2）對冪級數 要先做變換 0xxt ??（ 3）求冪級數的和函數 求冪級數 （ 1）利用極限 ?????||l i m 1nnn aa（ 2）判定冪級數在端點 Rx ??確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間 處的收斂性， ??? 0nnn xa收斂域的一般步驟： （ 3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。 ),( RR?????n nna ||l i m或??1R說明 （ 1） 冪級數中不能出現(xiàn)“缺項”。 ????00 )(nnn xxa（ 2）對冪級數 要先做變換 0xxt ??性質 3： 冪級數 ??? 0nnn xa? x xdxs0 )( ? ? ???????????xnnn xdxa00 ????? x nnnxdxa0010 1??? ?? ? nnnxnaIx?逐項積分后所得級數 的和函數 s (x) 在收斂域 I 上可積， 并有逐項積分公式 其收斂半徑與原級數相同。 10 1??? ?? nnnxna（ 3）求冪級數的和函數 性質 4： 冪級數 ??? 0nnn xa)(xs?39。0????????? ???nnn xa )(0?? ???nnnxa,11????? nnnxan ),( RRx ??逐項求導后所得級數 的和函數 s (x) 在收斂區(qū)間 內可導， 并有逐項求導公式 其收斂半徑與原級數相同。 11???? nnnxna),( RR?說明：求和函數一定要先求收斂域。 典型例題 例 1：若冪級數 ????0)2(nnn xa 在 x = 2 處收斂， 則此冪級數在 x = 5 處（ ） （ A）一定發(fā)散。（ B）一定條件收斂。 （ C）一定絕對收斂。（ D）收斂性不能確定。 C 例 2：若冪級數 ??? 0nnn xa 的收斂半徑是 16， 則冪級數 的收斂半徑是 （ ） ????012nnn xa 4 例 3：已知 ??? 0nnn xa 的收斂半徑為 3 ，則 的收斂區(qū)間為（ ） 例 4：級數 ?????11)1(npnn當（ ） （ A） p 1 時條件收斂， ?????01)1(nnn xna )4,2(?（ B） 0 p ? 1 時絕對收斂， （ C） 0 p ? 1 時條件收斂， （ D） 0 p ? 1 時發(fā)散。 C例 5：求下列冪級數的和函數 ????01)1(nnxn ??????021)12()1()2(nnnxnn),1l n(a r cta n2 2xxx ??]1,1[??x答案： ,)1(12x?)1,1(??x答案： ?????113)3(nnnnx例 5：求下列冪級數的和函數 ????022!1)1(nnn xnn??????022!1nnxttnn容易求得 ),( ?????I????0 !1nntn ??? ??1 !)1(nntnnte? ??? ????1 !)1(1)1(nntnnte? ??? ??2 !)2(1nntn??? ??1 !)1(nnntte? ?????02!nnnt ?????01!nnntte? tet 2? tet???????021)12()1()2(nnnxnn ),1l n(a r cta n2 2xxx ??]1,1[??x答案：