高數(shù)復(fù)習(xí)指南模板-文庫吧
2025-07-19 07:47 本頁面
【正文】 F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). [ A ] 【分析】 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時，有，于是，即 ，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng). 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B)、(C)。 令f(x)=x, 則取F(x)=, 排除(D)。 故應(yīng)選(A).【評注】 函數(shù)f(x)與其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已多次考查過. 請讀者思考f(x)與其原函數(shù)F(x)的有界性之間有何關(guān)系？完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）【~】（9）設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . [ B ]【分析】 先分別求出、再比較答案即可.【詳解】 因?yàn)椋? ，于是 ， ， ，可見有，應(yīng)選(B).【評注】 本題綜合考查了復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和隱函數(shù)求偏導(dǎo)以及高階偏導(dǎo)的計算。作為做題技巧，也可取，則，容易驗(yàn)算只有成立，同樣可找到正確選項(xiàng)(B).完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）【】及習(xí)題十（第11題）（10）設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程 (A) 只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分別求出三個偏導(dǎo)數(shù)，再考慮在點(diǎn)(0,1,1)處哪個偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)的隱函數(shù).【詳解】 令F(x,y,z)=, 則 ， ，且 ，. 由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 故應(yīng)選(D).【評注】隱函數(shù)存在定理是首次直接考查，有部分考生感到較生疏. 實(shí)際上本題也可從隱函數(shù)求偏導(dǎo)公式著手分析：若偏導(dǎo)表達(dá)式有意義，相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)也就存在.定理公式見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）（11）設(shè)是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]【分析】 討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.【詳解】 方法一：令 ，則 ， .由于線性無關(guān)，于是有 當(dāng)時，顯然有，此時，線性無關(guān)；反過來，若，線性無關(guān)，則必然有(,否則，與=線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).方法二： 由于 ，可見，線性無關(guān)的充要條件是故應(yīng)選(B).【評注】 本題綜合考查了特征值、特征向量和線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念.完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）【】（12）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B
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