【正文】 頁（共 9 頁） 大于 ??Qx的次數(shù)時，有理函數(shù) ????PxQx是假分式 ○有理函數(shù) （真分式） 不定積分的求解思路 （ ★ ） ⑴ 將有理函數(shù) ????PxQx的分母 ??Qx分拆 成兩 個 沒有公因式的 多項式 的乘積 ：其中一個多項式可以表示為 一次因式 ? ?kxa? ；而另一個多項式可以表示為二次質(zhì)因式 ? ?2 lx px q??，（ 2 40pq??） ； 即： ? ? ? ? ? ?12Q x Q x Q x?? 一般地： nmx n m xm??? ? ?????，則參數(shù) na m?? 22 bca x b x c a x xaa??? ? ? ? ????? 則參數(shù) ,bcpqaa?? ⑵ 則設(shè)有理函數(shù) ????PxQx的分拆和式為： ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?122klP x P x P xQxxa x p x q??? ?? 其中 ? ?? ? ? ? ? ?1 122 ... kkkPx AAAxax a x a x a? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 1 1 2 222222...llllPx M x N M x Nx px qx px q x px qM x Nx px q??????? ? ? ?????? 參數(shù) 1212 12, , . . . , , , , . . . , lk lMMMA A A N N N???? ? ??? ?由待定系數(shù)法（比較法）求出 ⑶得到分拆式后分項積分 即可求解 【題型 示例 】求 21x dxx?? （ 構(gòu)造法 ） 【求解示例】 ? ? ? ?? ?221 1 1 111 1 111 l n 112x x xx d x d x x d xx x xx d x d x d x x x x Cx? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? 第五節(jié) 積分表的使用 （不作要求） 第五章 定積分極其應(yīng)用 第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) ○ 定積分的定義 （ ★ ） ? ? ? ?0 1l im nb iia if x d x f x I? ?? ?? ? ??? （ ??fx稱為被積函數(shù)， ? ?f x dx 稱為被積表達(dá)式， x則稱為積分變量， a 稱為積分下限， b 稱為積分上限，? ?,ab 稱為積分區(qū)間） ○ 定積分的性質(zhì) （★★★） ⑴ ? ? ? ?bbaaf x dx f u du??? ⑵ ? ? 0aa f x dx?? ⑶ ? ? ? ?bbaakf x d x k f x d x??????? ⑷（線性性質(zhì)） ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2b b ba a ak f x k g x d x k f x d x k g x d x? ? ?????? ? ? ⑸（積分區(qū)間的 可加性 ） ? ? ? ? ? ?b c ba a cf x d x f x d x f x d x??? ? ? ⑹ 若函數(shù) ??fx在積分區(qū)間 ? ?,ab 上滿足 ? ? 0fx? ，則 ? ? 0ba f x dx??； （ 推論一） 若 函數(shù) ??fx、函數(shù) ??gx在積分區(qū)間 ? ?,ab 上滿足 ? ? ? ?f x g x? ，則 ? ? ? ?bbaaf x dx g x dx???； （推論二） ? ? ? ?bbaaf x dx f x dx??? ○ 積分中值定理（不作要求） 第二節(jié) 微積分基本公式 ○牛頓 萊布尼茲公式 （★★★） （定理三）若果函數(shù) ??Fx是連續(xù)函數(shù) ??fx在區(qū)間? ?,ab 上的一個原函數(shù)，則 ? ? ? ? ? ?ba f x dx F b F a??? ○變限積分的導(dǎo)數(shù)公式 （★★★） （上上導(dǎo)―下下導(dǎo)） ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xxd f t d t f x x f x xdx ?? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? 【題型 示例 】 求 21cos20limtxxe dtx??? 【求解示例】 ? ?22 11 00 c o sc o s200 2l im l im解 ：ttxxx L xd e d te d tdxx x?????? ??? 高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料 第 9 頁（共 9 頁） ? ?? ?? ?? ?2 222221 c os c os000 c os00c os c os0c os010 si n si nl i m l i m22si nl i m2c os si n 2 si n c osl i m21l i m si n c os 2 si n c os21122x xxxxLxxxxxxe e x xexxdxedxxx e x e x xe x x x xee?? ????? ???????? ? ? ? ??????? ? ? ????? ? ???? ? ? 第三節(jié) 定積分的換元法及 分部積分法 ○定積分的換元法 （★★★） ⑴（第一換元法） ? ? ? ? ? ? ? ?bbaaf x x d x f x d x? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 【題型 示例 】求 20 121dxx?? 【求解示例】 ? ?? ?2 2 20 0 01 1 1 12 1 l n 2 12 1 2 2 1 21 l n 5l n 5 l n 122解 ： dx d x xxx? ? ? ? ? ?????? ? ??? ⑵（第二換元法） 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?,f x C a b? ，函數(shù) ??xt?? 滿足： a． ,??? ，使得 ? ? ? ?,ab? ? ? ???； b．在區(qū)間 ? ?,?? 或 ? ?,?? 上， ? ? ? ?,f t t??????? 連續(xù) 則： ? ? ? ? ? ?ba f x d x f t t d t?? ?? ?? ?????? 【題型 示例 】求 40221x dxx??? 【求解示例】 ? ?2212 1 0 ,43220 , 1014 , 332332311132 22211 3 1 1 1332 2 2 35 2 2933解 ：tt x xxtxttxd x d xtxtt d t t d t t xt? ? ? ? ???????????????? ??? ? ? ? ? ? ?????? ? ??? ⑶ （分部積分法） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?bbaabau x v x d x u x v x v x u x d xu x d v x u x v x v x d u x???????????? ○偶倍奇零 （ ★★ ） 設(shè) ? ? ? ?,f x C a a?? ，則有 以下結(jié)論成立： ⑴ 若 ? ? ? ?f x f x?? ，則 ? ? ? ?02aaa f x dx f x dx? ??? ⑵ 若 ? ? ? ?f x f x? ? ? ，則 ? ? 0aa f x dx? ?? 第四節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用 （暫時不作要求） 第五節(jié) 定積分在物理上的應(yīng)用 （ 暫時 不作要求） 第六節(jié) 反常積分 （不作要求） 如：不定積分公式21 a rc ta n1 dx x Cx ????的證明。 很多同學(xué)上課時無法證明，那么在學(xué)期結(jié)束時， 我給出這樣一種證明方法 以說明問題： ? ?ta n 22a r c ta n2222 2 211 t a n1 1 t a n1 1 1c osse c c os c osa r c t a nx t ttxdx t dtxtdt t dt dtt t tt C x C????? ? ? ?????????????? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? 如此， 不定積分公式2211 a r c ta n xd x Ca x a a????也就很容易證明了，希望大家仔細(xì)揣摩，認(rèn)真理解。 最后，限于編者水平的限制，資料中錯誤和疏漏在所難免，希望同學(xué)們積極指出，以便互相學(xué)習(xí)改進(jìn)。