成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料-資料下載頁
2025-04-16 23:24本頁面
【正文】 2）在點(diǎn)處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點(diǎn)處f（x）有定義，且存在，但。（二）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在處皆連續(xù)，則在處連續(xù)在處連續(xù)若，則在處連續(xù)。定理（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在處連續(xù)，y=f（u）在處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g（x），在處極限存在，又y=f（u）在對(duì)應(yīng)的處連續(xù)。則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即定理（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。定理（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M和最小值m。定理（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)c，在[a，b]上至少存在一個(gè)，使得推論如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，（四）初等函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于，基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。定理：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則（1）設(shè)，當(dāng)x≠0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）。若F（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則F（0）等于____。 [答]C（2）設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=_____。 [答]0（1）點(diǎn)x=1是函數(shù)的（）。 [答]B（2）點(diǎn)x=0是函數(shù)的（）。 ，但不是可去間斷點(diǎn) [答]A（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（a）＜a，f（b）＞：在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使. 證明：令F（x）=f（x）x,則有F（a）= f（a）a＜0F（b）= f（b）b＞0故由零值定理可知，至少存在一點(diǎn)，使.即在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.
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