成人高考(專升本)高等數(shù)學(xué)二復(fù)習(xí)資料-資料下載頁
2025-01-10 16:07本頁面
【正文】 00）≠ f（ 0+0） x=0 為 f（ x）的間斷點 x=1 處， f（ 1） =1 f（ 10） =f（ 1+0） =f（ 1） ∴ f（ x）在 x=1處連續(xù) ［答案］ C [9703]設(shè) ，在 x=0處連續(xù)，則 k 等于 B. C. 分析： f（ 0） =k ［答案］ B 例 3[0209]設(shè) 在 x=0處連續(xù)，則 a= 解： f（ 0） =e0=1 ∵ f（ 0） =f（ 00） =f（ 0+0） ∴ a=1 ［答案］ 1 （二）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì) 21 由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 定理 （四則運算）設(shè)函數(shù) f（ x）， g（ x）在 x0處均連續(xù)，則 （ 1） f（ x）177。 g（ x）在 x0處連續(xù) （ 2） f（ x） g（ x）在 x0處連續(xù) （ 3）若 g（ x0）≠ 0， 則 在 x0處連續(xù)。 定理 （復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù) u=g（ x）在 x=x0處連續(xù)， y=f（ u）在 u0=g（ x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) y=f[g（ x） ]在 x=x0處連續(xù)。 在求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果 u=g（ x），在 x0處極限存在，又 y=f（ u）在對應(yīng)的 處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即 定理 （反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù) y=f（ x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù) x=f1（ y）也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。 （三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在 閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)的函數(shù) f（ x），有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。 定理 （有界性定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，則 f（ x）必在 [a， b]上有界。 定理 （最大值和最小值定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。 定理 （介值定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m，則對于介于 m 和 M 之間的任何實數(shù) C，在 [a， b]上至少存 22 在一個ξ，使得 推論（零點定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，且 f（ a）與 f（ b）異號，則在 [a， b]內(nèi)至少存在一個點ξ，使得 f（ξ） =0 （四）初等函數(shù)的連續(xù)性 由函數(shù)在一點處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。 定理 初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果 f（ x）是初等函數(shù)，且 x0是定義區(qū)間內(nèi)的點，則 f（ x）在 x0處連續(xù) 也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點處的極限值，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。 ［ 0407］ 23 [0611] 例 x35x+1=0在區(qū)間（ 0,1）內(nèi)至少有一個實根 . 證：設(shè) f（ x） =x35x+1 f（ x）在［ 0， 1］上連續(xù) f（ 0） =1 f（ 1） =3 由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（ 0， 1） 使得 f（ξ） =0，ξ 35ξ +1=0 即方程在（ 0， 1）內(nèi)至少有一個實根。 本章小結(jié) 函數(shù)、極限與連續(xù)是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。 這一章的內(nèi)容在考試中約占 15%，約為 22 分左右?，F(xiàn)將本章的主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下： 一、概念部分 重點：極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續(xù)的概念。 極限概念應(yīng)該明確極限是描述在給定變化過程中函數(shù)變化的性態(tài)，極限值是一個確定的常數(shù)。 24 函數(shù)在一點連續(xù)性的三個基本要素： （ 1） f（ x）在點 x0有定義。 （ 2） 存在。 （ 3） 。 常用的是 f（ x00） =f（ x0+0） =f（ x0）。 二、運算部分 重點：求極限，函數(shù)的點連續(xù)性的判定。 ： （ 1）利用極限的四則運算法則求極限； 對于“ ”型不定式，可 考慮用因式分解或有理化消去零因子法。 （ 2）利用兩個重要極限求極限； （ 3）利用無窮小量的性質(zhì)求極限； （ 4）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； 若 f（ x）在 x0處連續(xù)，則 。 （ 5）利用等價無窮小代換定理求極限； （ 6）會求分段函數(shù)在分段點處的極限； （ 7）利用洛必達(dá)法則求未定式的極限。 ，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理證明方程的根的存在
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