【正文】 ，分析它的頻率分布，以此估計總體分布． ① 總體期望的估計，計算樣本平均值 x ＝1n∑ni ＝ 1xi. ② 總體方差 ( 標準差 ) 的估計： 方差＝1n∑ni ＝ 1 ( xi－ x )2，標準差＝ 方差 ，方差 ( 標準差 )較小者較穩(wěn)定 . 2 ．獨立性檢驗 (1) 作出 2 2 列聯(lián)表； (2) 計算隨機變量 K2的觀測值； (3) 查臨界值，檢驗作答． 知能提升演練 一、 選擇 題 1. 學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的 支出情況，抽出了一個容量為 n 的樣 本，其頻率分布直方圖如圖所示，其 中支出在 [ 50,60) 元的同學有 30 人，則 n 的值為 （ ） A ． 90 B ． 100 C ． 900 D ． 1 000 解析 支出在 [ 50,6 0) 元的概率為 1 － － － ＝ ， 又支出在 [ 50,6 0) 元的同學共有 30 人． ∴ n ＝30＝ 100( 人 ) ， 故 選 B . B 2. 某校對高三年級的學生進行體檢，現(xiàn)將 高三男生的體重 ( 單位： kg ) 數(shù)據(jù)進行整 理后分成五組，并繪制頻率分布直方圖 ( 如圖所示 ) ．根據(jù)一般標準，高三男生的 體重超過65 kg 屬于偏胖，低于 55 kg 屬 于偏瘦，已知圖中從左到右第一、第三、 第四、第五小組的頻率分別為 , ，第二小組的頻數(shù)為 400 ，則該校高三年級的男生總數(shù)和體重正常的頻率分別為 ( ) A ． 1 000, B ． 800, C ． 1 000, D ． 800, 解析 由已知可得第二組的頻率為 1 － ( 5 ＋ ＋ ＋ ) ＝ ，由于其相應的頻數(shù)為 400 ，故總體容量為400＝ 1 000 ，體重正常的頻率即為第二小組和第三小組頻率之和，即 ＋ ＝ . 答案 C 3 ．如圖是某電視臺綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽 上，七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為 ( ) A. 84, B ． 84, C ． 85,4 D ． 85, 解析 根據(jù)莖葉圖可得這 7 個數(shù)據(jù)分別為：79,84,84,86,84,87,93 ，則去掉一個最高分和一個最低分后的平均分為 x ＝15 ( 84 3 ＋ 86 ＋ 87) ＝ 85 ，方差為 s2＝15[ ( 84 － 85)2 3 ＋ ( 86 － 85)2＋ ( 87 － 85)2] ＝ ，故答案為 D. 答案 D 4 ．在某超市的四類包裝食品中，抽取一個容量為 20 的樣本進行檢測，已知四類包裝食品中果脯類、火腿類、餅干類、蛋糕類分別有 40 種、 10 種、30 種、 20 種，若采用分層抽樣的方法抽取，則抽取果脯類、餅干類食品的種數(shù)之和為 ( ) A ． 6 B ． 9 C ． 12 D ． 14 解析 由題意得，果脯類有 40 種、餅干類有 30 種，且四類包裝食品共有 100 種，所以所求的兩類食品應抽取的種數(shù)之和為2040 ＋ 10 ＋ 30 ＋ 20 ( 40 ＋ 30) ＝ 14.故選 D. D 5 ． (2022 福建 ) 若某校高一年級 8 個班參加合唱比賽 的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平 均數(shù)分別是 ( ) A . 和 B ． 和 92 C ． 91 和 D ． 92 和 92 解析 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得 87,8 9,90 ,91, 92,9 3,9 4,96 . 故平均數(shù) x ＝87 ＋ 89 ＋ 90 ＋ 91 ＋ 92 ＋ 93 ＋ 94 ＋ 968 ＝ ， 中位數(shù)為91 ＋ 922＝ ，故選 A. A 二、填空題 6 ． ( 2022 江蘇 ) 某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從 中隨機抽測了 100 根棉花纖維的長度 ( 棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標 ) ，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[ 5,40] 中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的 100 根中，有 ________ 根棉花纖維的長度小于20 mm. 解析 在頻率分布直方圖中小于 20 mm 的頻率是 0 ． 01 5 ＋ 5 ＋ 5 ＝ ，故小于 20 mm 的棉花纖維的根數(shù)是 100 ＝ 30. 答案 30 7 ． ( 2022 福建 ) 將容量為 n 的樣本中的數(shù)據(jù)分成 6 組， 繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻 率之比為 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 6 ∶ 4 ∶ 1 ，且前三組數(shù)據(jù)的頻 數(shù)之和等于 27 ，則 n ＝ ________. 解析 ∵ 第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 6 ∶ 4 ∶ 1 ， ∴ 前三組頻數(shù)為2 ＋ 3 ＋ 420 n ＝ 27 ，故 n ＝ 60. 60 8 ．某研究機構(gòu)為了研究人的腳的大小與身高之間的 關(guān)系，隨機抽測了 20 人，若 “ 身高大于 175 厘米 ”的為 “ 高個 ” ， “ 身高小于等于 175 厘米 ” 的為“ 非高個 ” ； “ 腳長大于 42 碼 ” 的為 “ 大腳 ” ，“ 腳長小于等于 42 碼 ” 的為 “ 非大腳 ” ． 得以下2 2 列聯(lián)表： 高個 非高個 合計 大腳 5 2 7 非大腳 1 12 13 合計 6 14 20 則你有 _______ _ 的把握認為人的腳的大小與身高之間有關(guān)系． 解析 由題意得 K2＝20 ? 5 12 － 1 2 ?26 14 7 13≈ ，而K2 的概率約為 0. 01 ，所以有 99% 的把握認為人的腳的大小與身高之間有關(guān)系． 答案 99% 三、解答題 9 ．育新中學的高三一班男同學有 45 名，女同學有 15 名， 老師按照分層抽樣的方法組建了一個 4 人 的課外興趣小組． (1) 求某同學被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)； (2) 經(jīng)過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗，方法是先從小組里選出 1 名同學做實驗，該同學做完后，再從小組內(nèi)剩下的同學中選一名同學做實驗，求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率； (3) 試驗結(jié)束后，第一次做試驗的同學得到的試驗 數(shù)據(jù)為68,70,71,72,74 ，第二次做試驗的同學得到的試驗數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74 ，請問哪位同學的實驗更穩(wěn)定？并說明理由． 解 ( 1) P ＝nm＝460＝115， ∴ 某同學被抽到的概率為115. 設有 x 名男同學，則4560＝x4， ∴ x ＝ 3 ， ∴ 男、女同學的人數(shù)分別為 3,1. ( 2) 把 3 名男同學和 1 名女同學記為 a1， a2， a3， b ，則選取兩名同學的基本事件有： ( a1， a2) ， ( a1， a3) ，( a1， b ) ， ( a2， a1) ， ( a2， a3) ， ( a2， b ) ， ( a3， a1) ， ( a3，a2) ， ( a3， b ) ， ( b ， a1) ， ( b ， a2) ， ( b ， a3) 共 12 種，其中有一名女同學的有 6 種． ∴ 選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率為 P ＝612＝12. ( 3) x1＝68 ＋ 70 ＋ 71 ＋ 72 ＋ 745＝ 71 ， x2＝69 ＋ 70 ＋ 70 ＋ 72 ＋ 745＝ 71 ， s21＝? 68 － 71 ?2＋ ? ＋ ? 74 － 71 ?25＝ 4 ， s22＝? 69 － 7 1 ?2＋ ? ＋ ? 74 － 71 ?25＝ ∴ 第二次做實驗的同學的實驗更穩(wěn)定． 10 ．夏季來臨，各種電熱蚊香片之間競爭激烈，為在 市場上立足，各種電熱蚊香片之間展開了價格之戰(zhàn)．為給新上市的某品牌電熱蚊香片制定合理的價格，銷售公司為此進行了一次市場調(diào)查，并統(tǒng)計了該商品的銷售單價 x ( 元 / 盒 ) 與平均日銷售量y ( 盒 ) ，得到如下的數(shù)據(jù)資料： x 10 12 17 20 25 y 50 42 30 18 9 若由相關(guān)資料知， y 對 x 呈線性相關(guān)關(guān)系．試求： (1) y 對 x 的線性回歸方程 y^ ＝ a^ ＋ b^ x ； (2) 當價格為 18 元 / 盒時，估計每天的平均銷售量． 解 ( 1) 由表中數(shù)據(jù)，運用科學計算器得 a 、 b 的最好估計 a^ 、 b^ 分別為： b^ ＝∑5i ＝ 1xiyi－ 5 x y∑5i ＝ 1x2i－ 5 x2≈ － ， a^ ＝ y － b^ x ＝ ＋ ＝ 76 ， 所以 y 對 x 的線性回歸方程為： y^ ＝－ x ＋ 76. ( 2) 當 x ＝ 18 時， y^ ＝－ 18 ＋ 76 ＝ ≈ 27( 盒 ) ． 即當價格為 18 元 / 盒時，每天的平均銷售量約為 27盒． 返回