20xx屆高考數(shù)學(xué)文二輪專題復(fù)習(xí)課件蘇教版：第7講數(shù)列求和與數(shù)列綜合應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-04-21 20:36本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論；③常用公式：1＋2＋3＋?性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，探究點(diǎn)一數(shù)列求和。例1等比數(shù)列的首項(xiàng)為a，公比為q，Sn為前n項(xiàng)的和，當(dāng)q＝1時(shí)，an＝a，Sn＝na，例2在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P1，P2(x2，，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)。中的每一條的對(duì)稱。＋1)代入上式，得a＝1，kn＝y(tǒng)′|x＝0＝2n＋3，設(shè){an}公差為d，則a10＝－17＋9d∈，探究點(diǎn)三數(shù)列中的探索性問題
【正文】 n 項(xiàng)和的問題 ． 第 7 講 │ 江蘇真題剖析 江蘇真題剖析 [ 2010 江蘇卷 ] 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為S n ， 已知 2 a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 ， 數(shù)列 { S n } 是公差為 d 的等差數(shù)列 ． ( 1 ) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 ( 用 n ， d 表示 ) ； ( 2 ) 設(shè) c 為實(shí)數(shù) ， 對(duì)滿足 m ＋ n ＝ 3 k 且 m ≠ n 的任意正整數(shù)m ， n ， k ， 不等式 S m ＋ S n cS k 都成立 ． 求證 ： c 的最大值為92. 第 7 講 │ 課本挖掘提升 【解答】 (1) 由題意知： d 0 ， Sn＝ S1＋ ( n － 1) d ＝ a1＋ ( n － 1) d ， 2 a2＝ a1＋ a3? 3 a2＝ S3? 3( S2－ S1) ＝ S3,3[( a1＋ d )2－ a1] ＝( a1＋ 2 d )2， 化簡(jiǎn)，得： a1－ 2 a1d ＋ d2＝ 0 ， ∴ a1＝ d ， a1＝ d2. Sn＝ d ＋ ( n － 1) d ＝ nd ， Sn＝ n2d2， 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn － 1＝ n2d2－ ( n － 1)2d2＝ (2 n － 1) d2，適合 n ＝ 1 的情形． 故 an＝ (2 n － 1) d2. 第 7 講 │ 課本挖掘提升 (2) ( 方法一 ) S m ＋ S n cS k ? m2d2＋ n2d2 c k2d2? m2＋ n2 c k2，c m2＋ n2k2 恒成立． 又 m ＋ n ＝ 3 k 且 m ≠ n, 2( m2＋ n2)( m ＋ n )2＝ 9 k2?m2＋ n2k2 92， 故 c ≤92，即 c 的最大值為92. 第 7 講 │ 課本挖掘提升 ( 方法二 ) 由 a 1 ＝ d 及 S n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ，得 d 0 ， S n＝ n2d2. 于是，對(duì)滿足題設(shè)的 m ， n ， k ， m ≠ n ，有 S m ＋ S n ＝ ( m2＋ n2) d2? m ＋ n ?22d2＝92d2k2＝92S k . 所以 c 的最大值 c m a x ≥92. 第 7 講 │ 課本挖掘提升 另一方面，任取實(shí)數(shù) a 92. 設(shè) k 為偶數(shù)，令 m ＝32k ＋ 1 ， n ＝32k － 1 ，則 m ， n ， k 符合條件，且 Sm＋ Sn＝ ( m2＋ n2) d2＝ d232k ＋ 12＋32k － 12＝12d2(9 k2＋ 4) ． 于是，只要 9 k2＋ 42 ak2，即當(dāng) k 22 a － 9時(shí)， Sm＋ Sn12d22 ak2＝ aSk. 所以滿足條件的 c ≤92，從而 cm a x≤92. 因此 c 的最大值為92. 【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng) 、 求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí) ， 考查探索 、 分析及論證的能力 ． 高中代數(shù)這臺(tái)戲 ， 如果認(rèn)定函數(shù)為其主演 ， 數(shù)列為其特演 ，那么不等式則是當(dāng)之無(wú)愧的伴演 ． 函數(shù)和數(shù)列試題是彰顯的 ， 一看題目 ， 就能判斷它是不是一個(gè)函數(shù)或數(shù)列考題 ， 不等式則不盡其然 ， 它往往是隱藏的 、 滲透的 ， 有時(shí)要解到題目最后才 ( 回頭 )發(fā)現(xiàn)它是不等式問題 ． 數(shù)列與不等式交匯常以壓軸題的形式出現(xiàn) ， 試題主要涉及到導(dǎo)數(shù) 、 函數(shù)等知識(shí) ． 考查知識(shí)重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式 、 前 n 項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系 、 等差數(shù)列和等比數(shù)列 、 歸納與猜想 、 大小比較 、 參數(shù)取值范圍的探求 ． 數(shù)列與不等式的結(jié)合應(yīng)主要關(guān)注以下幾點(diǎn) ： ① 求有數(shù)列參與的不等式恒成立問題 ； ② 數(shù)列參與的不等式的證明問題 ； ③ 求數(shù)列中的最大值問題 ； ④ 數(shù)列與不等式結(jié)合的探索性問題 ． 第 7 講 │ 課本挖掘提升
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