2有限差分法及熱傳導(dǎo)數(shù)值計算-資料下載頁
2025-07-25 16:01本頁面
【正文】 如果把式 (414a)中的擴散項也用 (i+1)時層上的值 來表示，則有 式中已知的是 i時層的值 tn(i)，而未知量有 3個，因此不能直接由上式立即算出 tn(i+1)之值，而必須求解 (i+1)時層的一個聯(lián)立方程才能得出 (i十 1)時層各節(jié)點的溫度，因而式 (415)稱為 隱式差分格式 。從時 — 空坐標系中的節(jié)點 (n， i+1)來看，式(415)的左端是非穩(wěn)態(tài)項的一種向后差分。隱式格式的 缺點是計算工作量大，但它對步長沒有限制，不會出現(xiàn)解的振蕩現(xiàn)象 。 以上是將一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程中的兩個導(dǎo)數(shù)項用相應(yīng)的差分表示式代替而建立差分方程的，這種方法稱為 泰勒展開法 。 這種方法不受網(wǎng)格是否均分及物性是否為常數(shù)等限制，是更為一般的方法。 圖 49示出了一 無限大平板 的右面部，其右側(cè)面受到周圍流體的冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為 h。此時 邊界 節(jié)點 N代表寬度為 Δx/2的元體 (圖中有陰影線的部分 )。對該元體應(yīng)用 能量守恒定律 可得 經(jīng)整理得 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 式中 是以 Δx特征長度的傅里葉數(shù) ，稱為 網(wǎng)格傅里葉數(shù) ， 一項可作如下變化： 式中 FoΔ及 BiΔ分別為 網(wǎng)格傅里葉數(shù) 及 網(wǎng)格畢渥數(shù) 。于是式 (416b)又可改寫為 至此，我們可以把 第三類邊界條件 下、厚度為 2δ的無限大平板的數(shù)值計算問題作一歸納。由于問題的對稱性，只要求解 — 一半厚度即可。設(shè)將計算區(qū)域等分為 N1等份 (N個節(jié)點，見圖 410)， 節(jié)點 1為絕熱的對稱面 ，節(jié)點 N為對流邊界，則與微分形式的數(shù)學描寫相對應(yīng)的離散形式為 其中式 (420)是 絕熱邊界 的一種離散方式，在確定 t1(i+1)之值時需要用到 t1(i) 。根據(jù)對稱性該值等于 t2(i)。這樣，從已知的 初始分布 t0出發(fā)，利用式 (417)及 (419)可以依次求得第二時層、第三時層直到 i 時層上的溫度值 (見圖 48)。至于空間步長 Δx及時間步長 Δτ的選取，原則上步長越小，計算結(jié)果越接近于精確解，但所需的計算機內(nèi)存及計算時間則大大增加。此外， Δx及 Δτ之間的關(guān)系還受到 顯式格式 穩(wěn)定性的影響。下面我們從離散方程的結(jié)構(gòu)來分析，說明穩(wěn)定性限制的物理意義。 式 (417)的物理意義是很明確的。該式表明，點 n上 i+l時刻的溫度是在該點 i時刻溫度的基礎(chǔ)上計及了左右兩鄰點溫度的影響后得出的。假如兩鄰點的影響保持不變，合理的情況是： i時刻點 n的溫度越高，則其相繼時刻的溫度也較高；反之， i時刻點 n的溫度越低，則其相繼時刻的溫度也較低。在差分方程中要滿足這種合理性是有條件的，即式 (417)中 tn(i)前的系數(shù)必須大于或等于零 。如用判別式表示，則為必須保證 否則將會出現(xiàn)十分不合理的情況。 式 (421)是從一維問題顯式格式的 內(nèi)節(jié)點 方程得出的限制條件。同樣的討論還可以對顯式格式的對流 邊界節(jié)點 方程式(419)進行。顯然，為了得出合理的解應(yīng)有 顯然，這一要求比內(nèi)點的限制還要苛刻。當由邊界條件及內(nèi)節(jié)點的穩(wěn)定性條件得出的 FoΔ不同時，應(yīng)以較小的 FoΔ為依據(jù)來確定所允許采用的時間步長。當然，對第一類或第二類邊界條件的問題，則只有內(nèi)點的限制條件。 即 小結(jié) ： 基本概念 ： 基本原理 ： 了解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法 掌握節(jié)點 離散方程的建立及代數(shù)方程的求解
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