2有限差分法及熱傳導(dǎo)數(shù)值計(jì)算-在線瀏覽
2024-09-04 16:01本頁面
【正文】 1,1,22yoy ttty t nmnmnmnm??? ????? ??同樣可得： 表示未明確寫出的級數(shù)余項(xiàng)中的 Δ X的最低階數(shù)為 2 根據(jù)導(dǎo)熱問題的控制方程 ( 導(dǎo)熱微分方程 ) 1 , , 1 , , 1 , , 122220m n m n m n m n m n m nt t t t t txy? ? ? ?? ? ? ?????若 △ x=△ y 則有 , 1 , 1 , , 1 , 11 ()4m n m n m n m n m nt t t t t? ? ? ?? ? ? ?2222 0ttxy??????得 x y 如圖所示 邊界節(jié)點(diǎn) (m,n) 只能代表半個(gè)元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為 q ，據(jù)能量守恒定律對該元體有： 1. 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立： (1) 平直邊界上的節(jié)點(diǎn) 1 , , , 1 , 1 ,2022m n m n m n m nm n m nm n wt t t t xyxyttxxΦ y y qy???????? ????????? ? ? ? ? ?????? yx 2 , 1 , , 1 , 1 21 24 mn wm n m n m n m n x Φ xqt t t t ??? ? ??? ? ?? ? ? ? ????? 邊界節(jié)點(diǎn) 離散方程的建立及代數(shù)方程的求解 (2) 外部角點(diǎn) 2, 1 , , 12122mn wm n m n m nx Φ xqt t t?????? ? ?? ? ? ?????1 , , , 1 ,22042m n m n m n m nmnwt t t tyxxyxy Φ xyq?????????????? ? ? ??????? yx如圖所示，二維墻角計(jì)算區(qū)域中，該節(jié)點(diǎn)外角點(diǎn)僅代表 1/4 個(gè)以 為邊長的元體。 0wq ?（ 2） 值不為零 wq流入元體， 取正，流出元體， 取負(fù)使用上述公式 wqwq（ 3）對流邊界 此時(shí) ，將此表達(dá)式代入上述方程，并將此項(xiàng)中的 與等號前的 合并。 1） 直接解法 ： 通過有限次運(yùn)算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。 2 ）用雅可比迭代法： 每次迭代計(jì)算，均用上一次迭代計(jì)算出的值。 ,ijaib采用高斯 —— 賽德爾迭代法的步驟： （ 1）將三元方程變形為迭式方程： 1 1 1 2 2 1 3 3112 2 2 1 1 2 3 3223 3 3 1 1 3 2 2331()1()1()t b a t a tat b a t a tat b a t a ta? ? ?? ? ?? ? ?（ 2）假設(shè)一組解（迭代初場），記為 ： 并代入迭代方程求得第一 次解 每次計(jì)算均用 最新值代入。 判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則： ????????????)(m a x)()1()()()1()()1(m a xm a xm a xkkikikikikikikittttttttk及 k+1表示迭代次數(shù)； — 第 k次迭代得到的最大值 (k)maxt當(dāng)有接近于零的 t 時(shí)，第三個(gè)較好 36 1 0 ~ 1 0????— 允 許 的 偏 差 ；相 對 偏 差 值 一 般取迭代過程結(jié)束 說明： 1 ）對于一個(gè)代數(shù)方程組，若選用的迭代方式不合適，有可能導(dǎo)致發(fā)散，即稱 迭代過程發(fā)散 ； 2 ）對于常物性導(dǎo)熱問題，組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和，此時(shí)，結(jié)果一定收斂。 12 13 21 23 31 3211 22 331 1 1a a a a a aa a a? ? ?? ? ?， ，這一 條件 數(shù)學(xué)上稱主對角線占優(yōu)（對角占優(yōu)）； 當(dāng)計(jì)算區(qū)域中出現(xiàn)曲線邊界或傾斜的邊界時(shí)，常常用階梯形的 折線 來模擬真實(shí)邊界，然后再用上述方法建立起邊界節(jié)點(diǎn)的離散方
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