直線的方向向量和平面的法向量-資料下載頁
2025-10-31 05:44本頁面
【導讀】1．理解直線的方向向量，平面的法向量．。2．能夠利用直線的方向向量和平面的法向量。1．回想在平面向量中，怎樣求一條直線的方。直線的方向向量與平面的法向量。確定．如圖所示，點A是直線l上一點，在直線上任取兩點P、Q，可得到直線的一個。3．用平面的法向量表示空間中平面的位置．。αD．l與α斜交。[解析]∵u＝－2a，∴u∥a，∴l(xiāng)⊥α．。線面位置關(guān)系中的應用。②用證明線線平行時，必須指明l與m不重。合；用證明線面平行時必須說明_______；設a、b分別是不重合直線l1、l2的方向向量，[解析]顯然有b＝3a，即a∥b，a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2．
【正文】 向量的運算結(jié)果 “ 翻譯 ” 成相應的幾何意義． ? 已知 l∥ α，且 l的方向向量為 (2，－ 8,1)，平面α的法向量為 (1， y,2)，則 y＝ __________． [ 答案 ] 12 [ 解析 ] ∵ l∥ α ， ∴ l 的方向向量與 α 的法向量垂直， ∴ 2 1－ 8 y ＋ 1 2 ＝ 0 ， ∴ y ＝12 ． 證明：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行 ． ? [解題思路探究 ] 第一步，審題． ? 一審條件，挖掘解題信息：給出一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行，可利用線面平行時方向向量與法向量的關(guān)系． ? 二審結(jié)論，確定解題目標：證明兩個平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明其法向量平行． ? 第二步，建立聯(lián)系確定解題步驟． ? 如圖，由線面平行可得直線 l、m的方向向量與平面 β的法向量垂直，由兩直線 l、 m相交可得直線的方向向量 a、 b不共線，從而可取作基底，從而可將該平面內(nèi)任一直線用 a、 b線性表示，然后利用數(shù)量積說明 v是平面 α的法向量，從而 u∥ v，最后說明α∥ β． ? 第三步，規(guī)范解答． ? [解析 ] 已知：直線 l， m和平面 α， β，其中 l，m?α， l與 m相交， l∥ β， m∥ β，求證：α∥ β． ? 證明：設相交直線 l， m的方向向量分別為 a，b，平面 α， β的法向量分別為 u， v，因為l∥ β， m∥ β，所以 a⊥ v， b⊥ v．所以 av＝0， bv＝ 0． ? 因為 l， m?α，且 l， m相交， ? 所以 α內(nèi)任一直線的方向向量 p可以表示為如下形式 p＝ xa＋ yb， x， y∈ R． ? 因為 pv＝ (xa＋ yb)v＝ xav＋ ybv＝ 0，即平面 β的法向量與平面 α內(nèi)任一直線垂直． ? 所以平面 β的法向量也是平面 α的法向量，即u∥ v．因此， α∥ β． ? 兩條不重合直線 m、 n和平面 α都垂直，求證m∥ n． ? [證明 ] 設 m、 n的方向向量分別為 e e2，平面 α的法向量為 n， ∵ m⊥ α， n⊥ α，∴ e1∥ n， e2∥ n， ? 故存在實數(shù) x， y，使 e1＝ xn， n＝ ye2， ? ∴ e1＝ (xy)e2， ∴ e1∥ e2， ? ∵ m與 n不重合， ∴ m∥ n． 直線 l 的方向向量為 a ＝ (2 ，－ 1,1) ，平面 α 的法向量為 e ＝??????12 ， 0 ，－ 1 ，則 l 與 α 的位置關(guān)系為 ______ ____ ． ? [錯解 ] l∥ α [ 辨析 ] ∵ a ＝ (2 ，－ 1,1) ， e ＝ (12， 0 ，－ 1) ， ∴ a e ＝ (2 ，－ 1,1) (12， 0 ，－ 1) ＝ 2 12－ 1 0 － 1 1 ＝ 0 ． ∴ a ⊥ e ，所以 l ∥ α 或 l? α ． ? [正解 ] l∥ α或 l?α 鞏固提高學案 （點此鏈接）
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