利用空間向量法求直線與平面所成的角的方法：(1)分別求-資料下載頁(yè)
2025-08-05 03:44本頁(yè)面
【正文】 ， 所以，二面角 D — A1A — C 的平面角的余弦值為55. ( 3 ) 假設(shè)在直線 CC1上存在點(diǎn) P ，使 BP ∥ 平面 DA1C1， 設(shè) CP→＝ λ CC1→， P ( x ， y ， z ) ， 則 ( x ， y － 1 ， z ) ＝ λ (0 ， 1 ， 3 ) ， 從而有 P (0 ， 1 ＋ λ ， 3 λ ) ， BP→＝ ( － 3 ， 1 ＋ λ ， 3 λ ) ， 菜 單 新課標(biāo) 理科數(shù)學(xué) （ 廣東專用 ） 設(shè) n3⊥ 平面 DA1C1，則?????n3⊥ A1C1→，n3⊥ DA1→， 又 A1C1→＝ (0 ， 2 ， 0) ， DA1→＝ ( 3 ， 0 ， 3 ) ， 設(shè) n3＝ ( x3， y3， z3) ，?????2 y3＝ 0 ，3 x3＋ 3 z3＝ 0 ， 取 n3＝ (1 ， 0 ，－ 1) ， 因?yàn)?BP ∥ 平面 DA1C1，則 n3⊥ BP→， 即 n3 BP→＝－ 3 － 3 λ ＝ 0 ，得 λ ＝－ 1 ， ∴ 點(diǎn) P 在 C1C 的延長(zhǎng)線上，且 C1C ＝ CP . 菜 單 新課標(biāo) 理科數(shù)學(xué) （ 廣東專用 ） 【 反思啟迪 】 利用空間向量解決探索性問題 ， 可將所求問題轉(zhuǎn)化為方程 (組 )是否有解的問題 ， 可通過解方程 (組 )來(lái)判斷是否有解 ． 菜 單 新課標(biāo) 理科數(shù)學(xué) （ 廣東專用 ） 如圖 6 ，矩形 A B C D 和 梯形 B E F C 所在平面互相垂 直， BE ∥ CF ， BC ⊥ CF ， AD ＝ 3 ， EF ＝ 2 ， BE ＝ 3 ， CF ＝ 4. ( 1 ) 求證： EF ⊥ 平面 D C E ； ( 2 ) 當(dāng) AB 的長(zhǎng)為何值時(shí)， 二面角 A — EF — C 的 大小為 60 176。 . 【解】 ( 1) 證明 在 △ BCE 中， BC ⊥ BE ， BC ＝ AD ＝3 ， BE ＝ 3 ， ∴ EC ＝ 2 3 ， 在 △ FCE 中， CF2＝ EF2＋ CE2， ∴ EF ⊥ CE . 由已知條件知， DC ⊥ 平面 EFCB ， ∴ DC ⊥ EF ， 菜 單 新課標(biāo) 理科數(shù)學(xué) （ 廣東專用 ） 又 DC與 EC相交于 C， ∴ EF⊥ 平面 DCE. ( 2) 如圖，以點(diǎn) C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 以 CB ， CF 和 CD 分別作為 x 軸， y 軸 和 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 C — xy z . 設(shè) AB ＝ a ( a ＞ 0) ，則 C (0 ， 0 ， 0) ， A ( 3 ， 0 ， a ) ， B ( 3 ， 0 ， 0) ， E ( 3 ， 3 ， 0) ， F (0 ， 4 ， 0) ， 從而 EF→＝ ( － 3 ， 1 ， 0) ， AE→＝ (0 ， 3 ，－ a ) ． 設(shè)平面 AEF 的法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 菜 單 新課標(biāo) 理科數(shù)學(xué) （ 廣東專用 ） 由 EF→ n ＝ 0 ， AE→ n ＝ 0 ，得?????－ 3 x ＋ y ＝ 0 ，3 y － az ＝ 0 ，取 x ＝ 1 ， 則 y ＝ 3 ， z ＝3 3a， 即 n ＝ (1 ， 3 ，3 3a) ， 不妨設(shè)平面 EFCB 的法向量為 BA→＝ (0 ， 0 ， a ) ， 由條件，得 | c o s 〈 n ， BA→〉 |＝ |n BA→| n || BA→||＝3 3 aa 4 a2＋ 27＝12， 解得 a ＝92. 所以當(dāng) AB ＝92時(shí)，二面角 A — EF — C 的大小為 60 176。 .
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