常微分方程學(xué)習(xí)活動6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)word版-資料下載頁
2025-06-29 13:17本頁面
【正文】 .因為不是特征根，故已知方程有形如 的特解．將上式代入原方程，可得 ，所求通解為.三、證明題1．設(shè)矩陣函數(shù)，在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組 與有相同的基本解組，則186。．．證明 設(shè)為基本解矩陣, 因為基本解矩陣是可逆的,故有 于是.2． 設(shè)在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．證明 設(shè)w(x)是方程的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因為在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對,或,所以,在上恒正或恒負(fù),即w(x)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù). 3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數(shù)．證明 設(shè)兩個線性的解組的朗斯基行列式分別為，且，所以有.四、應(yīng)用題 1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點由靜止開始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點的運(yùn)動規(guī)律。解 設(shè)液體的反作用與質(zhì)點速度的比例系數(shù)為則指點的運(yùn)動滿足方程：即 則(*)所對應(yīng)的齊次方程的通解為： 又是齊次方程的特征根,故特解形式為： 代入(*)式得： 所以由得故.
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