線性代數(shù)自學(xué)考試知識(shí)點(diǎn)匯總-資料下載頁(yè)
2025-06-28 22:10本頁(yè)面
【正文】 之和等于A的全部特征值之和，方陣A的行列式等于A的全部特征值的乘積.（5）若是方陣A的特征值，則是方陣的特征值. 特別地，當(dāng)時(shí)，方陣A的特征值是的根.說(shuō)明：，.例如是方陣A的特征值，則方陣的特征值是.方陣的特征值是.例如若，則方陣A的特征值是的根，即.（6）設(shè)都是方陣A的屬于同一特征值的特征向量，則也是的特征向量.（7）屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān). （8）屬于不同特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的并集仍線性無(wú)關(guān).3. 方陣的對(duì)角化（1）若方陣A與對(duì)角矩陣Λ相似，則說(shuō)A可以對(duì)角化．即存在可逆矩陣P，使得.（Λ是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.）（2）n階方陣A可以對(duì)角化的充分必要條件是①A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；②屬于每一個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)與該特征值的重?cái)?shù)相同．（3）n階方陣A可以對(duì)角化的充分條件是n階方陣A的n個(gè)特征值互不相等．（4）若A與B相似，則與相似.4. 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化（1）實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交.（2）實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化. 即存在正交矩陣P，使得.（Λ是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.）（3）利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣的步驟： (1)求特征值；(2)求特征向量；(3)將特征向量正交化，單位化；(4)最后將這些特征向量做成矩陣．二次型1. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化（1） 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟:① 寫(xiě)出二次型的對(duì)稱矩陣A；② 求A的全部特征值；③ 求每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量；④ 將特征向量正交化，單位化，得；⑤ 將這些特征向量做成矩陣，記，最后做正交變換x=Cy，得到f的標(biāo)準(zhǔn)形為.（其中是的矩陣A的特征值.）（2） 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟:① 若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)可逆的線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形。 ② 若二次型中不含有平方項(xiàng)，則先作可逆線性變換，令，（k=1,2,…,n，i≠j）化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.2. 規(guī)范二次型設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，（，r是f的秩）令，得，稱為二次型的規(guī)范形.注：，負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)rp稱為負(fù)慣性指數(shù)，它們的差p(rp)=2pr稱為符號(hào)差.3. 正定二次型二次型正定矩陣A正定A的特征值全為正A的各階順序主子式都為正.二次型負(fù)定矩陣A負(fù)定A的奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，偶數(shù)階順序主子式為正.寧可累死在路上，也不能閑死在家里！寧可去碰壁，也不能面壁。是狼就要練好牙，是羊就要練好腿。什么是奮斗？奮斗就是每天很難，可一年一年卻越來(lái)越容易。不奮斗就是每天都很容易，可一年一年越來(lái)越難。能干的人，不在情緒上計(jì)較，只在做事上認(rèn)真；無(wú)能的人！不在做事上認(rèn)真，只在情緒上計(jì)較。拼一個(gè)春夏秋冬！贏一個(gè)無(wú)悔人生！早安！—————獻(xiàn)給所有努力的人.學(xué)習(xí)
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