線性代數(shù)同濟(jì)六版資料知識點總結(jié)-資料下載頁
2025-06-28 20:17本頁面
【正文】 2）m 個 n 維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) n 小于向量個數(shù) m 時，一定線性相關(guān)． 特別地， n + 1個 n 維向量一定線性相關(guān)． 3）設(shè)向量組 A ：a1, a2, …, am 線性無關(guān)， 而向量組 B ：a1, a2, …, am, b 線性相關(guān)， 則向量 b 必能由向量組 A 線性表示，且表示式是唯一的三、向量組的秩1. 設(shè)有向量組 A ，如果在 A 中能選出 r 個向量a1, a2, …,ar，滿足 ①向量組 A0 ：a1, a2, …, ar 線性無關(guān)； ②向量組 A 中任意 r + 1個向量（如果 A 中有r + 1個向量的話）都線性相關(guān)； 那么稱向量組 A0 是向量組 A 的一個最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組． 最大無關(guān)組所含向量個數(shù) r 稱為向量組 A 的秩，記作RA 。RA ≤ 向量組A中向量的個數(shù) 只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，秩 = 0。2. 向量組 A 和它自己的最大無關(guān)組 A0 是等價的． 推論：向量組A0線性無關(guān)；向量組 A 中任意一個向量都能由向量組 A0 線性表示； 那么稱向量組 A0 是向量組 A 的一個最大無關(guān)組．3. 全體 n 維向量構(gòu)成的向量組記作Rn，向量組E是Rn的一個最大無關(guān)組，且Rn的秩等于n4. 矩陣的秩等于它的列（行）向量組的秩．5. 矩陣初等變換后保持列向量組之間的線性關(guān)系。 如：向量組A ：a1, a2, a3 , a4, a5，假設(shè)A0：a1，a2，a4是一個最大無關(guān)組，把a(bǔ)3 , a5用a1，a2，a4線性表示：可以看出： b3 = ? b1 ? b2 b5 = 4b1 + 3b2 ? 3b4所以 a3 = ? a1 ? a2 a5 = 4a1 + 3a2 ? 3a4 四、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1. 設(shè)有齊次線性方程組 Ax = 0 ，如果x1 = x11， x 2= x21，...， x n= x n為該方程組的解，則稱 為方程組的解向量2. 性質(zhì)：若 x = x 1， x = x 2 是齊次線性方程組 Ax = 0 的解，則 x = x 1 + x 2 還是 Ax = 0 的解 若 x = x 是齊次線性方程組 Ax = 0 的解，k 為實數(shù)，則 x = k x 還是 Ax = 0 的解3. 把 Ax = 0 的全體解組成的集合記作 S，若求得 S 的一個最大無關(guān)組S0：x = x 1, x = x 2, ..., x = x t ， 那么Ax = 0 的通解可表示為 x = k1 x 1 + k2 x 2 + … + kt x t ． 齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（不唯一）．4. 設(shè) mn 矩陣的秩 R(A) = r，則 n 元齊次線性方程組Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n ? r 即：Ax = 0 的解集S的秩等于 未知數(shù)的個數(shù) 減去 系數(shù)矩陣的秩5. 設(shè) n 元齊次線性方程組 Ax = 0 與Bx = 0 同解，則R(A) = R(B) 設(shè)AmnBnl = O （零矩陣），則R(A) + R(B) ≤ n ．6. 非齊次方程組的解的性質(zhì)： ①若 x = h 1， x = h2 是非齊次線性方程組 Ax = b 的解，則 x = h 1 ? h 2 是對應(yīng)的齊次線性方程組 Ax = 0 （導(dǎo)出組）的解． ②若 x = h 是非齊次線性方程組 Ax = b 的解， x = x 是導(dǎo)出組 Ax = 0 的解，則 x = x + h 還是 Ax = b 的解．7. 若 x = h*是 Ax = b 的一個特解，Ax = 0 的通解為 x = c1x1+c2x2+…+rxnr 于是： Ax = b 的通解為 x = c1x1+c2x2+…+rxnr + h* 即：非齊通 = 齊通 + 非齊特 特解：沒有線性相關(guān)要求，只要是解就可以
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