【正文】 相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：①不滿足交換律，即②在時，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.　　5．方陣的乘冪與多項式方陣設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣　　6．矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A為一個矩陣，把A中行與列互換，得到一個矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運算滿足以下運算律：，，由轉(zhuǎn)置運算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義設(shè)A為一個n階方陣，若A滿足，則稱A為對稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對稱矩陣.7．方陣的行列式矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設(shè)為一個n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則①；②③（三）方陣的逆矩陣　　1．可逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則①是可逆矩陣，且；②AB是可逆矩陣，且；③kA是可逆矩陣，且④是可逆矩陣，且⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即　　 設(shè)P為可逆矩陣，則 　　2．伴隨矩陣設(shè)為一個n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點）伴隨矩陣必滿足 （n為A的階數(shù)）　　3．n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理：n階方陣A可逆，且推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且，　　 例1 設(shè)（1）求A的伴隨矩陣（2）a，b，c，d滿足什么條件時，A可逆？此時求　　 解：（1）對二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號”即（2）由，故當時，即，A為可逆矩陣此時（四）分塊矩陣1． 分塊矩陣的概念與運算對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運算時，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當作元素來看待，相乘時A的各子塊分別左乘B的對應(yīng)的子塊.2．準對角矩陣的逆矩陣形如 的分塊矩陣稱為準對角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個準對角矩陣也可逆，并且（五）矩陣的初等變換與初等方陣1． 初等變換對一個矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換，（1）交換A的某兩行（列）；（2）用一個非零數(shù)k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計算是求值過程，用等號連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣理論中一個常用的運算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.2．初等方陣由單位方陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3．初等變換與初等方陣的關(guān)系設(shè)A為任一個矩陣，當在A的左邊乘一個初等方陣的乘積相當于對A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個初等方陣的乘積相當于對A作同類型的初等列變換.4．矩陣的等價與等價標準形若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價，記為對任一個矩陣A，必與分塊矩陣等價，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得 5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設(shè)A為任一個n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）然后 注意：這里的初等變換必須是初等行變換.　　 例2 求的逆矩陣　　 解： 則 例3 求解矩陣方程　　解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得也能用初等行變換法，不用求出，而直接求則 （六）矩陣的秩1． 秩的定義設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或零矩陣的秩為0，因而，對n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2． 秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).3．與滿秩矩陣等價的條件n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使 A非奇異，即 A的等價標準形為E A可以表示為有限個初等方陣的乘積 齊次線性方程組只有零解 對任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解 A的行（列）向量組線性無關(guān) A的行（列）向量組為的一個基 任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組　　　　　　　　　　　　　　　的線性組合，且表示法唯一. A的特征值均不為零 為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對任一個線性方程組可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對應(yīng).對于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章 向量空間（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1． n維向量的定義與向量的線性運算由n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣與矩陣線性運算類似，有向量的線性運算及運算律.2．向量的線性組合設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱為的一個線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個向量可以表示成 則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3．矩陣的行、列向量組設(shè)A為一個矩陣，若把A按列分塊，可得一個m維列向量組稱之為A的列向量組.　若把A按行分塊，可得一個n維行向量組稱之為A的行向量組.4．線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個解就是一個組合系數(shù).　　例1　問能否表示成，的線性組合？　　解：設(shè)線性方程組為 對方程組的增廣矩陣作初等行變換：則方程組有唯一解所以可以唯一地表示成的線性組合，且（二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1． 線性相關(guān)性概念設(shè)是m個n維向量，如果存在m個不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱向量線性無關(guān).由定義可知，線性無關(guān)就是指向量等式當且僅當時成立.特別 單個向量線性相關(guān)； 單個向量線性無關(guān)2．求相關(guān)系數(shù)的方法設(shè)為m個n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個非零解就是一個相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m例2 設(shè)向量組，試討論其線性相關(guān)性.　　解：考慮方程組其系數(shù)矩陣 于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為令，得一個非零解為則3．線性相關(guān)性的若干基本定理定理1 .定理2 如果向量組線性無關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).定理4 無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān).（三）向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩　　1．向量組等價的概念若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個向量組等價.　　2．向量組的極大無關(guān)組設(shè)T為一個向量組，若存在T的一個部分組S，它是線性無關(guān)的，且T中任一個向量都能由S線性表示，則稱部分向量組S為T的一個極大無關(guān)組.顯然，線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身.對于線性相關(guān)的向量組，一般地，它的極大無關(guān)組不是唯一的，但有以下性質(zhì)：定理1 向量組T與它的任一個極大無關(guān)組等價，因而T的任意兩個極大無關(guān)組等價.定理2 向量組T的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同.　　3．向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系把向量組T的任意一個極大無關(guān)組中的所含向量的個數(shù)稱為向量組T的秩.把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理：對任一個矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關(guān)組.例3 求出下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出：　　解：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地為向量組的一個極大無關(guān)組，而且（四）向量空間 1． 向量空間及其子空間的定義定義1 n維實列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實n維向量空間，記作定義2 設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對于向量的線性運算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2． 向量空間的基與維數(shù)設(shè)V為一個向量空間，它首先是一個向量組，把該向量組的任意一個極大無關(guān)組稱為向量空間V的一個基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù).顯然，n維向量空間的維數(shù)為n，且中任意n個線性無關(guān)的向量都是的一個基.3． 向量在某個基下的坐標設(shè)是向量空間V的一個基，則V中任一個向量都可以用唯一地線性表出，由r個表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標.第四章 線性方程組（一） 線性方程組關(guān)于解的結(jié)論定理1 設(shè)為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是定理2 當n元非齊次線性方程組有解時，即時，那么（1）有唯一解；（2）有無窮多解.定理3 n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是推論1 設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解推論2 設(shè)A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解（二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間首先對任一個線性方程組，我們把它的任一個解用一個列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因為V中有零向量，即零解，而且容易證明V對向量的加法運算及數(shù)乘運算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數(shù)仍為解，于是V成為n維列向量空間的一個子空間，我們稱V為方程組的解空間（三）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解把n元齊次線性方程組的解空間的任一個基，稱為該齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.當n元齊次線性方程組有非零解時，即時，就一定存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含有線性無關(guān)解向量的個數(shù)為求基礎(chǔ)解系與通解的方法是：對方程組先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個基礎(chǔ)解系.　　 例1 求的通解　　解：對系數(shù)矩陣A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣：，有非零解，取為自由未知量，可得一般解為寫成向量形式，令，為任意常數(shù)，則通解為可見，為方程組的一個基礎(chǔ)解系.（四）非齊次線性方程組1． 非齊次線性方程組與它對應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系設(shè)為一個n元非齊次線性方程組，為它的導(dǎo)出組，則它們的解之間有以下性質(zhì)：性質(zhì)1 如果是的解，則是的解性質(zhì)2 如果是的解，是的解，則是的解由這兩個性質(zhì)，可以得到的解的結(jié)構(gòu)定理：定理 設(shè)A是矩陣，且，則方程組的通解為其中為的任一個解（稱為特解）,為導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系.　　2．求非齊次線性方程組的通解的方法對非齊次線性方程組，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解.　　 例2 當參數(shù)a，b為何值時，線性方程組有唯一解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時，求出通解.　解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣：