線(xiàn)性代數(shù)自學(xué)考試知識(shí)點(diǎn)匯總(編輯修改稿)
2025-07-25 22:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 列作的矩陣的秩向量的個(gè)數(shù)m.（7）n個(gè)n維向量線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是以向量組為列作的行列式的值=0. （8） 向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 ① 齊次線(xiàn)性方程組只有零解. ② 以向量組為列作的矩陣的秩=向量的個(gè)數(shù)m.（9） n個(gè)n維向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是以向量組為列作的行列式的值≠0.（10）當(dāng)mn時(shí)，m個(gè)n維向量一定線(xiàn)性相關(guān).定理1：向量組 a1 , a2 ,……, am （m≥2）線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余m1個(gè)向量線(xiàn)性表示.向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是向量組中任何一個(gè)向量都不能由其余向量線(xiàn)性表示． 定理2：如果向量組A：a1 , a2 ,……, ar 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而向量組 a1 , a2 ,……, ar，α線(xiàn)性相關(guān)，則α可由A線(xiàn)性表示，且表示式唯一.定理3：設(shè)向量組， 若A線(xiàn)性相關(guān)，則向量組B也線(xiàn)性相關(guān)；反之，若向量組B線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組A也線(xiàn)性無(wú)關(guān).（即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，則部分無(wú)關(guān)）.定理4：無(wú)關(guān)組的截短組無(wú)關(guān)，相關(guān)組的接長(zhǎng)組相關(guān).3. 極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩定義1 如果在向量組 T 中有 r 個(gè)向量 a1 , a2 ,……, ar ，滿(mǎn)足條件： ⑴ 向量組 a1 , a2 ,……, ar 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，⑵ ，線(xiàn)性相關(guān). 那么稱(chēng)向量 a1 , a2 ,……, ar 是向量組 T 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. 定義2 向量組的極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為向量組的秩.定義3 矩陣的行向量組的秩稱(chēng)為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱(chēng)為矩陣的列秩。結(jié)論1 線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是它本身。 結(jié)論2 如果向量組的秩是r ，那么該向量組的任意 r 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都是它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。定理1 設(shè)向量組A:a1,a2, …,ar；及向量組B:b1,b2, …, bs，如果組A能由組B線(xiàn)性表示，且組A線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則r≦s. 推論1 等價(jià)的向量組有相同的秩. 定理2 矩陣的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣行向量組的秩.4. 向量空間定義1 設(shè)V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合V為向量空間.5. 基與向量在基下的坐標(biāo)定義2 設(shè)V是向量空間，如果向量組a1 , a2 ,……, ar ，滿(mǎn)足條件： （1）向量組 a1 , a2 ,……, ar 線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2），線(xiàn)性相關(guān). 那么稱(chēng)向量組a1 , a2 ,……, ar是向量空間V的一個(gè)基， 基中所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量空間V的維數(shù)，記作dimV，并稱(chēng)V為r維向量空間．定義3 設(shè)向量組 a1 , a2 , … , ar 是向量空間V的一個(gè)基，則V中任一向量x可唯一地表示為基的一個(gè)線(xiàn)性組合，即 ，稱(chēng)有序數(shù)組為向量x在基 a1 , a2 , … , ar下的坐標(biāo). 線(xiàn)性方程組1. 線(xiàn)性方程組解的判定
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