【正文】 時間=距離/速度可見 H 反映了資金的增值速度。 后面我們簡記矢量 Pi=P（x i）41 / 254=P（x i1，x i2， ……，x iN），記概率分布為 P=（P i）=（P 1，P 2，……，P W），記投資比例矢量 q=（q k）=（q 0，q 1，……，q N）， 其它類推。改變 q 可使 H 達(dá)最大，使 H 達(dá)最大的投資比例矢量 q=q*=（q k*）就是最優(yōu)的。投資比例矢量是有限制條件的。比如通常的股票投資有下面三個限制條件：條件 I： （）??Nkq01這意味著可用現(xiàn)金和各項投資資產(chǎn)之和等于自有資產(chǎn)的 1倍，是在任何情況下成立的條件；條件 II：q k?1，k =0，1，...，N ；并且 （）??kq1或 q0?0，這意味著不許透支或貸款；條件 III：q k?0，k =1，2，...，N；這意味著不許賣空（賣空比如：期貨做空或股票先融券賣空，等低價買回平倉）。在給定 q 的限制條件下求使增值熵 （）???iNkiiRqxPH0log)(達(dá)極大的 q，這是一個非線性規(guī)劃問題，可用已有方法解決。 這一問題只有在某些簡單情況下才有代數(shù)解。在一般情況下需要通過計算機(jī)編程得到數(shù)值解。 單硬幣打賭下注優(yōu)化下面我們通過最簡單的投資模型——單硬幣打賭模型——討論最優(yōu)投資比例的代數(shù)解。定義 我們稱前面的投資模型是單硬幣打賭模型，如果1) 投資項目或證券種數(shù) N=1；2) 可能的贏虧種數(shù) n1=2（贏虧概率未必相等）；3) 要確定的投資比例有兩個：現(xiàn)金（或國債）和非現(xiàn)金比例，k=0，1。單硬幣打賭的優(yōu)化問題是最簡單的，也是最有代表性的投資比例優(yōu)化問題， 節(jié)所述的擲硬幣打賭問題是它的一個特例（贏虧概率相等）。對于單硬幣打賭問題，增值熵是43 / 254 （）)log()log(1120201?????qRPqRPrrH其中 P1 和 P2 是贏虧的概率，R 1 和 R2 是相應(yīng)的兩種產(chǎn)出比；r 1 和 r2 是相應(yīng)的兩種收益（率）；R 0=1+r0，r 0 是存款利率或市場利率；q0=1?q； ?1=R1?R0=r1?r0，? 2=R2?R0=r2?r0，? 1 和? 2 是扣除銀行利率或市場利率的收益，簡稱超常收益（excess return）。如果? 2?10（只贏不虧），最優(yōu)比例顯然是 1。如果?1?20（只虧不贏），最優(yōu)比例顯然是 0（不許賣空時）。為了討論方便，后面我們只討論 ?10?2 的情況。下面我們用求極值方法求最優(yōu)比例。令 dH/dq=0，得 （） 02022??qRP整理得最優(yōu)投資比例公式 （）021*q???注意上式中的分子正好是期望超常收益。在不許透支也不許賣空的情況下（條件 I，II ，III 成立），最優(yōu)投資比例是，1 q’0 （）021Rq0Pq?????????????,*令 q39。=1 得滿倉條件 （）012/RP????令期望收益等于 R0，于是得到空倉（投資 0%）條件 （）22/)(?圖 直觀地顯示了 q*和（r 1，r 2）的關(guān)系。注意r2/r1 不變的點(diǎn)， q*隨兩者增大而減小，這說明期望收益不變時，收益波動越大，優(yōu)化的投資比例應(yīng)越小。 圖 單硬幣打賭優(yōu)化投資比例 ——r1r2 平面圖上的等 q*線（不可透支和賣空， R0=；左邊：P 1=P2=；右邊：P 1=， P2=）45 / 254對于 節(jié)的打賭問題，將，P 1=P2=1/2，? 1=1，? 2=2，R 0=1 代入（）得 q*=，這就是說，最優(yōu)下注比例是 25%。由（）可得出一個非常有意義的結(jié)論。令? 1 =1（虧損 100%），R 0=1，于是有（）121221/* PPPq ?????????這就是說：只要虧光資金的概率是 P1，則不管可能的盈利幅度? 2 有多大，都不要投入比例超過 1?P1 的資金。比如說，只要虧光的概率不是 0，就一定不要滿倉；只要虧光的概率達(dá) ，就一定不要超過半倉——哪怕有 10 倍20 倍利潤的可能。此結(jié)論對期貨、期權(quán)、配股權(quán)證、放貸等投資特別有意義。許多人在期貨、期權(quán)、外匯等交易中損失巨大，或者玩不了多久就賠光出場，原因就在于他們受到可能的高額利潤誘惑，持倉比例往往過大。 允許透支和賣空時的增值熵 及投資比例優(yōu)化公式（）假設(shè)條件 I，II，III 同時成立。如果條件 II 不成立，則意味可以從銀行或證券公司透支或貸款去投資（比如買股票）。這時增值熵變?yōu)???? ?????????????01),log()log( ),l()l( 1ogog202101 202101 qRPqRPqqqH（）其中 R039。=（1+ r039。） （r 039。r0 是貸款利率）；q0=max（0，1?q），q 039。=max（0，q?1） 是貸款比例；?139。=R1?R039。=r1?r039。，? 239。同理。最優(yōu)投資比例是 （）????????????? ???? 0,1,*21021qRPqM其中M=可用資金相對自有資金的倍數(shù)=（1+ 可透支或貸款的倍數(shù)）如果存款利率和貸款利率相同，則有 R0=R039。，上式簡化為 （） ??????????????0,*21qMPq47 / 254如果限制條件 III 也不存在，即允許qk0，k=1 ，2，...，N；則意味著可以賣空。什么是賣空? 在股票和國債市場上，通常我們只能先買后賣。如果可以借別人的股票或國債先賣出，然后買回來補(bǔ)還券主（期望高價賣低價買），則說可以融券賣空。在期貨市場上，賣出自己未必?fù)碛械奈磥淼纳唐?，叫拋空，也是賣空的一種。下面我們以可融券股票買賣為例說明投資比例優(yōu)化。期貨的投資比例優(yōu)化還涉及保證金比例問題。方法類似。假設(shè)融券用同樣價值的資金抵押，這時剩余資金比例是 q0=max（0，1?| q|），貸款比例是 q039。=max（0，|q|?1）；（）變?yōu)椋海???? ???????????????????????????????1),log()log( 0,ll )()( 1,1|(log)|1(0||l 0),log()(1og202101 2020220221201 qRPqRPqrqPrqrPrH）其中? ?1= r1?（ ?r0）=r 1+r0，意味 r1 在負(fù)方向超出r 0 的部分，? ?2 同理；?39。 ?1 = r1+r39。0，?39。 ?2 同理。允許透支和賣空時的最優(yōu)投資比例公式是： （）????????????????? ???????????MqqRPrEqqMRPM, 1,0,01,*210210上式劃分的各個區(qū)域（包括空倉區(qū)、拋空區(qū)、透支區(qū)、透支滿倉區(qū)等）及等 q*線如圖 所示。圖 單硬幣打賭下注比例優(yōu)化（可透支和賣空，P 1=P2=；r 0=，r 039。=；M=2）49 / 254對于一般的投資組合（多證券或項目），在允許貸款和賣空時，增值熵由（）變?yōu)? （）??????????? ??????????1,)log(0,1,)log(,100qRPqRPHiNkiki iiNkii ik其中 ??Nkq1（）其它變量參考（）類推。而最優(yōu)投資比例需用電腦搜索投資矢量空間才能得到。 考慮轉(zhuǎn)移成本的增量優(yōu)化公式轉(zhuǎn)移成本或者說交易手續(xù)費(fèi)（包括證券公司和交易所收取的交易費(fèi)用和稅金等）對交易的影響是顯然的，如果轉(zhuǎn)移證券增加的收益抵不上轉(zhuǎn)移成本，轉(zhuǎn)移就不該發(fā)生。前面的優(yōu)化公式中沒有考慮交易手續(xù)費(fèi)，從而也沒有考慮如何優(yōu)化轉(zhuǎn)移量。下面我們以單硬幣打賭模型（一種證券，兩種可能收益）為例說明如何根據(jù)手續(xù)費(fèi)優(yōu)化投資比例增減量。假設(shè)1?q??1。設(shè)當(dāng)前投資比例為 q，現(xiàn)金或國債比例為 q0=1?q ，投資比例增量為? q=q?q（因為 1?q??1，所以 1?q? ?q ??1?q），交易手續(xù)費(fèi)是交易額的 d 倍（比如對于深滬股市，d=），每一元在交易后變?yōu)?d39。=1?d 元（增加頭寸用? ，減少頭寸用+），資金? q 在交易后變?yōu)??qd’元，于是有增值熵（）)](log[( )l 02q202 111 2q0q0RdRPH????????? ??令R01=q0R0+qR1，R 02=q0R0+qR2，? 1=d39。R1?R0， ?2=d39。R2?R0， 于是得到 )log()log( 21????qPPH（）它和前面的式（）非常相似。令 dH/d?q=0，得到優(yōu)化比例增量公式51 / 254 （）210101*?????RPq當(dāng) q=0 從而 q0=1 時，上式就變?yōu)榭紤]手續(xù)費(fèi)的投資比例優(yōu)化公式。手續(xù)費(fèi)比例 d 增大對投資增量的影響如圖 所示。d 越大，持倉不動的區(qū)域，即 q*=q的白帶區(qū)越寬。意味手續(xù)費(fèi)比率提高時，優(yōu)化的持倉增減量相應(yīng)減少。圖 還表明，手續(xù)費(fèi)對盈虧幅度大的交易影響小，而對盈虧幅度小的交易影響大。由此可以理解為什么期貨交易者能夠容忍較高的手續(xù)費(fèi)，而國債交易者不能（期貨交易因手續(xù)費(fèi)虧損主要是由于交易太頻繁）。圖 手續(xù)費(fèi)對投資增量的影響（可賣空不可透支， q=， P1=P2=， R0=1， d=）結(jié)合本節(jié)和上一節(jié)公式，可以把增量優(yōu)化方法推廣到允許透支的情況和多證券情況。到此，單硬幣投資模型的頭寸優(yōu)化問題已經(jīng)全部解決了。 多硬幣打賭下注優(yōu)化定義 我們稱 節(jié)的投資模型是多硬幣打賭模型，如果1）投資證券或項目種數(shù)為 N?2；2）對于每種投資，可能的贏虧種數(shù) ni =2（ i=1，2，...，N），不同投資贏（或虧） 的概率相同；3）要確定的投資比例有 N+1 個，即k=0， 1，...，N；4）不同投資之間贏虧相互無關(guān)，即P（x i， xj）=P （x i）P （x j），i，j =1，2，...， N，i ? j為使問題簡化，我們僅討論不許透支和賣空，投資比例相等（即 q1=q2=...=qN=q/N） ，r 0=0 從而? 1=r1，? 2=r2 時的情況。設(shè)每種投資虧和贏的概率是 P 和 Q=1?P。當(dāng) N=2 時，分散投資的可能贏虧有 4 種：（虧，虧），（虧，贏），（贏，虧），（贏，贏）；因中間兩種收益相同可以合并，所以可能的收益的概率預(yù)測是53 / 254Fr={1/4|r1q，2/4|（r 1+r2）q/2，1/4| r2q} （）增值熵是H2=P 2 log（1+r 1q） +2PQ log[1+（r 1+r2）q/R]+Q2log（1+r 2q） （）當(dāng) N2 時，幾種收益及其概率按二項式系數(shù)規(guī)律變化，即H3=P 3 log（1+ r1q）+3P 2Qlog[1+（2r 1+r2）q/3] +PQ 2log[1+（r 1+2r2）q/3]+Q 3log（1+r 2q） （） …………HN=P N log（1+r 1q）+NP N?1Qlog[1+（（N ?1）r 1+r2） q/N]+...+NPQN?1log[1+（ r1+（N ?1）r 2）q/N ] +Q Nlog （1+r 2q） （）由上面公式，可以通過計算機(jī)編程求出圖 （見 節(jié)）中的一些優(yōu)化結(jié)果。可以證明，在各證券收益互不相干且收益的概率預(yù)測相同的情況下，各證券投資比例相同時組合最優(yōu)；并且證券數(shù)目越多，幾何平均收益越大。隨著 N 增大，幾何平均收益有沒有極限，極限是不是就是它的算術(shù)平均收益? 下面我們將證明，結(jié)論果然如此?？梢哉f，投資組合的目的是使幾何平均收益盡可能地接近算術(shù)平均收益。 分散投資極限定理對數(shù)學(xué)不感興趣的讀者可以忽略本節(jié)內(nèi)容。 定理 （分散投資極限定理）：有 N 個相互獨(dú)立的證券，未來收益皆有兩種可能，分別為 r1 和 r2，概率分別為 P 和 Q=1?P，算術(shù)平均收益皆為 E=Pr1+Qr2。 則增值熵 HN 在 qk=1/N，k=1，2， ……，N 且 N→∞時有極限值 （）aRlog)1l(lim????證 根據(jù)二項式定理，增值熵 ?????Ns SNNSrQPSH0 121]/)(log[)!(（）根據(jù)中心極限定理 （[27]，91） ，當(dāng) N→∞時， （）???21rNttPd)log()其中 P（t）是以 E 為期望以 PQ/N 為方差的正態(tài)分布函數(shù)，即55 / 254 （）????????)/(2exp/21)( NPQEtPt?而 （）0/lim???N故（）成立。證畢。 由于（）成立，所以幾何平均收益隨著 N 增大可以無限地接近算術(shù)平均收益，即 （）ENH????12lim 考慮消費(fèi)和人力資源時的增值熵 及基金評價假設(shè)兩個投資基金 A 和 B，10 年內(nèi)幾何平均收益或總的相對增值相同，但是基金 A 每年收益是 20%，而基金B(yǎng) 各年收益不同，時贏時虧。如何評價兩個基金? 作為十年期間從不取錢出來的投資人來說，前面的增