【正文】 隨著 N 增大，幾何平均收益有沒有極限，極限是不是就是它的算術(shù)平均收益? 下面我們將證明，結(jié)論果然如此。設(shè)當(dāng)前投資比例為 q，現(xiàn)金或國債比例為 q0=1?q ，投資比例增量為? q=q?q（因?yàn)?1?q??1，所以 1?q? ?q ??1?q），交易手續(xù)費(fèi)是交易額的 d 倍（比如對(duì)于深滬股市，d=），每一元在交易后變?yōu)?d39。下面我們以可融券股票買賣為例說明投資比例優(yōu)化。 允許透支和賣空時(shí)的增值熵 及投資比例優(yōu)化公式（）假設(shè)條件 I，II，III 同時(shí)成立。單硬幣打賭的優(yōu)化問題是最簡單的，也是最有代表性的投資比例優(yōu)化問題， 節(jié)所述的擲硬幣打賭問題是它的一個(gè)特例（贏虧概率相等）。但是本書下面的研究結(jié)果和他們的研究結(jié)果完全不同，原因之一是期望和標(biāo)準(zhǔn)方差不再充當(dāng)重要角色；原因之二是本書使用一種廣義熵——增值熵——作為分析工具。例 兩種證券當(dāng)前價(jià)格皆是 1 元，證券 I（像是期權(quán)）未來價(jià)格可能是 0 元和 2 元，概率分別為 1/4 和 3/4。相關(guān)系數(shù)為?1 時(shí)效果最好，這時(shí)幾何平均收益等于算術(shù)平均收益。213。205。求最優(yōu)比例方法將在 節(jié)詳細(xì)介紹，這里且提供一個(gè)簡單的優(yōu)化公式： （）21*rPq??即最優(yōu)比例等于收益的期望除以收益的乘積的絕對(duì)值。168?，F(xiàn)在問怎樣重復(fù)下注可以使你盡快地由百元戶變?yōu)榘偃f元戶？你可能為了盡快地變?yōu)榘偃f元戶而押上你的全部資金。雖然 80％大于 63％，算術(shù)平均大于 0，可是總的來說是跌的，跌了約 1/3，因?yàn)槔鄯e產(chǎn)出比是 （1+）（1? ）= ，累積收益是 ?1= ?。設(shè)硬幣有 A，B 兩面，做 N 次擲幣實(shí)驗(yàn)，出A 面的次數(shù)是 N1，當(dāng) N 越來越大時(shí)，P 1=N1 /N 越來越接近，即 ???? 就是出 A 面的概率。17 / 2543. 投資組合——從擲硬幣打賭談起如果誰能準(zhǔn)確預(yù)測未來，或是他所從事的投資的收益都是確定的，投資組合理論對(duì)他來說就毫無用處。巴菲特傳》 [18]，其中 Buffett（巴菲特）和首屆（1970 年）諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獲獎(jiǎng)?wù)?P. Samuelson（薩繆爾遜）等理論權(quán)威關(guān)于信息和有效市場理論的爭論更加堅(jiān)定了我早日完成這本書的決心?？墒牵@一模型的遭遇和我前幾個(gè)發(fā)現(xiàn)一樣。它的運(yùn)算和數(shù)字電路中 3—8 譯碼器的運(yùn)算類似，不同的是輸入輸出是模擬量。但是，就沒有好一些的決策減輕因預(yù)測不好帶來的風(fēng)險(xiǎn)嗎？我相信：在我們這個(gè)投資充滿風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)代，預(yù)測準(zhǔn)確是不可能的，這樣決策往往比預(yù)測更加重要。我目睹了 1995 年美元的大跌大漲，聽說中國的一些銀行機(jī)構(gòu)為此損失慘重。我所建立的廣義信息論中就采用了幾種廣義熵函數(shù)——它們是 Shannon 熵函數(shù)的推廣，增值熵也可以說是廣義熵中的一種。促使我寫這本書的原因之一是完善廣義信息理論 [1—5]的需要。要想在風(fēng)險(xiǎn)投資領(lǐng)域生存和發(fā)展，好的預(yù)測和好的決策缺一不可。1882 年，玻爾茲曼（Boltzmann ）發(fā)展了熵理論，并把熵解釋為“失去的信息”。正是因?yàn)橛行碌臄?shù)學(xué)理論指導(dǎo)決策，我才有幸成為不多的同在股市和期市賺錢的贏家之一，所管理的合作帳戶由1993 年 5 月的 1 元，到 1997 年 7 月（我修改本節(jié)內(nèi)容時(shí)）已變?yōu)?11 元多，漲了 10 倍；而同期深圳股市上漲不到 1 倍，上海股市上漲不到 倍（比較見圖 ）。有的機(jī)構(gòu)為了一點(diǎn)小利出租在天津國債回購市場的席位，結(jié)果被遼國發(fā)之類害得很慘，不得不承擔(dān)他人欠下的巨額債務(wù)。到目前為止，我的分析哲學(xué)理論和我的美學(xué)理論命運(yùn)類似。后來我看到北京的鄧曉明在《潛科學(xué)》上發(fā)表了同樣的模型 [15]，他用時(shí)間乘上一個(gè)系數(shù)作為球的半徑，數(shù)據(jù)檢驗(yàn)吻合得很好?？梢哉f，就投資組合模型來說，Markowitz 是對(duì)的而 Arrow 錯(cuò)了，但就給定概率預(yù)測是否存在客觀的最優(yōu)組合來說，Markowitz 是錯(cuò)的而 Arrow 是對(duì)的。證券種數(shù)更多且包括預(yù)測的軟件正在研制之中。比如說，投資股票 100 元，贏利 20 元，收益為r=20/100==20%；產(chǎn)出比 R=120/100==120%；如不買股票買國債的收益是 r0=，則超常收益是?=?==10%。比如，對(duì)于上面的擲硬幣打賭，如果你下注資金比例總是 1，則算術(shù)平均收益是 。國內(nèi)25 / 254許多股市期貨炒手對(duì)穩(wěn)定的 30％的年收益不屑一顧，他們情愿冒高風(fēng)險(xiǎn)追求 100%－200 ％的年收益，但是一旦虧損，就前功盡棄。180。202。表 優(yōu)化比例和幾何平均收益隨籃子數(shù)目變化31 / 254籃子數(shù)目 1 2 3 4 N??最優(yōu)投資比例（%） 1?25 2?23 3? 4? N?100/N幾何平均收益（%） 500204060801001 2 3 4 N238。190。 e_2同理；r I 和 rII 是兩個(gè)品種的投資收益，比例 q 和 q* 是在每種證券上的投資比例和優(yōu)化的投資比例。雖然 Markowitz 理論的成就是巨大的，但是其缺陷也是不容忽視的。實(shí)際上，當(dāng)投資某一項(xiàng)目或股票的資金增大到一定程度，比如投資某一股票達(dá)數(shù)千萬元時(shí)，收益將呈非線性變化（效益遞減）。在一般情況下需要通過計(jì)算機(jī)編程得到數(shù)值解。比如說，只要虧光的概率不是 0，就一定不要滿倉；只要虧光的概率達(dá) ，就一定不要超過半倉——哪怕有 10 倍20 倍利潤的可能。什么是賣空? 在股票和國債市場上，通常我們只能先買后賣。前面的優(yōu)化公式中沒有考慮交易手續(xù)費(fèi)，從而也沒有考慮如何優(yōu)化轉(zhuǎn)移量。設(shè)每種投資虧和贏的概率是 P 和 Q=1?P。 定理 （分散投資極限定理）：有 N 個(gè)相互獨(dú)立的證券，未來收益皆有兩種可能，分別為 r1 和 r2，概率分別為 P 和 Q=1?P，算術(shù)平均收益皆為 E=Pr1+Qr2。R2?R0， 于是得到 )log()log( 21????qPPH（）它和前面的式（）非常相似。假設(shè)融券用同樣價(jià)值的資金抵押，這時(shí)剩余資金比例是 q0=max（0，1?| q|），貸款比例是 q039。=（1+ r039。如果?1?20（只虧不贏），最優(yōu)比例顯然是 0（不許賣空時(shí)）。這一熵函數(shù)和 K. J. Arrow 曾使用的效用函數(shù)表面上有些相似 [17]，但實(shí)質(zhì)不同（參見 節(jié)）。按 Markowitz 理論， I 和 II 投資價(jià)值相同，而按常識(shí)和本書理論，II 遠(yuǎn)優(yōu)于 I。但是 Markowitz 等人并不知道或沒有研究使資金增值最快的客觀的最優(yōu)比例，更不知道怎么求出。(%)圖 投資比例和收益隨籃子數(shù)目變化可見，籃子越多，資金越分散，資金增值速度越快。177。有人會(huì)說：實(shí)際投資過程中，收益的概率預(yù)測是不斷變化的，前面的優(yōu)化比例仍然適用嗎？回答是：仍然實(shí)用。186。再說，如果你已經(jīng)是萬元戶了，下 10 元是不是太少了？每次將你的所有資金的 10%用來下注，這也許是個(gè)不錯(cuò)的主意?？梢哉f投資組合的目的就是使幾何平均收益盡可能接近算術(shù)平均收益，從而減小投資風(fēng)險(xiǎn)并提高增值速度。當(dāng)可能的盈虧為 N 種時(shí)，收益的概率預(yù)測變?yōu)镕r ={P1|r1，P 2|r2，...，P N |rN} 期望收益和標(biāo)準(zhǔn)方差期望收益（expected return）就是算術(shù)平均收益（arithmatic mean return），后面記為 E 或 ra 。因?yàn)槲覀冄芯康耐顿Y的收益是不確定的，并且虧損是很可能的，所以這樣的投資又叫風(fēng)險(xiǎn)投資。我在過去的兩年里寫了不少股市和期市雜談、短評(píng)（筆名：魯莽），還有一篇贊美游俠騎士精神的連載小說：《股指山熊妖征戰(zhàn)記》 [19] （主人翁是滬吉柯德和深桑丘——分別代表上海和深圳股市的靈魂）。要說理論意義，它涉及經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物學(xué)的基本問題；要說實(shí)際意義，它和我們的日常生活，特別是經(jīng)濟(jì)收入以及人生幸福密切相關(guān)；要說實(shí)踐檢驗(yàn)，你用幾個(gè)硬幣就可以比較出本理論和其它理論的優(yōu)劣。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)這一數(shù)學(xué)模型時(shí)又興奮了一次?；⒗菂柡Γ墒蔷蜕婺芰碚f，還不如螞蟻和老鼠。我更目睹了 96 年 11—12 月新股民入市的激情，看到了他們?cè)?12 月 16 日開始的連跌停板面前如何目瞪口呆，不知所措。由于我剛從廣義信息論研究的云霧中鉆出來，滿頭腦的廣義熵公式，于是自然想起用對(duì)數(shù)表示盈虧的效用，進(jìn)而用熵函數(shù)表示資金的平均增值速度。有了新的投資組合和信息價(jià)值理論，可以期望我的廣義信息論能在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有很好的應(yīng)用，期望它能成為溝通電子信息研究和經(jīng)濟(jì)信息研究的橋梁。信息價(jià)值指的是由信息帶來的效用的增量。意外的是，炒股票時(shí)的思考導(dǎo)致我發(fā)現(xiàn)了一種可以用于優(yōu)化投資組合的數(shù)學(xué)公式——增值熵公式 [6]。但總的說來盈多虧少。有的只賺了2%（96 年上市基金中業(yè)績——凈資產(chǎn)收益率——最好的也未能趕上深圳指數(shù)漲幅的 1/411 / 254——修改時(shí)注）。我又一次興奮了，以為（現(xiàn)在還以為）延續(xù)了幾千年的哲學(xué)基本問題的爭論可以到此終止。雖然論文在《通信學(xué)報(bào)》上發(fā)表了，專著《廣義信息論》出版后，也有不少朋友很感興趣，但是其反響并不如自己所期望。另一本是 K. J. Arrow 的論文集《信息經(jīng)濟(jì)學(xué)》 [17]（K. J. Arrow 是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)得獎(jiǎng)?wù)撸?0 年代當(dāng)過美國經(jīng)濟(jì)協(xié)會(huì)會(huì)長）；其中一個(gè)重要思想是：給定概率預(yù)測，可以求出相應(yīng)的最優(yōu)決策，有信息時(shí)的最優(yōu)決策效用較之無信息時(shí)的最優(yōu)決策的效用增量就是信息價(jià)值。對(duì)于一般的股票投資者來說，只需看 2—4 章，5—7 章也可選看。如果借貸投資，r 0 便是貸款利率，它這時(shí)又被稱為資金成本，或市場平均收益。改變 q 可以求出 Rg 的極大值。林奇和索羅斯也是世界著名投資大師，他們的幾何平均收益不比巴菲特的差，只是投資時(shí)間短些。幾種不同下注比例帶來的資金變化如圖 和表 所示。245。前面我們假設(shè)只有一種投資（證券或項(xiàng)目），如果有兩三種呢？是否有最優(yōu)的在各證券上的投資比例？有!現(xiàn)在我們假設(shè)有兩種可選擇股票，它們的收益由兩個(gè)硬幣的投擲結(jié)果確定（出 A 面你投一虧一，出 B 面你投一賺二），概率預(yù)測是Fr={ 1/4|（? 1，?1），1/4| （?1，2），1/4|（2，?1）， 1/4|（2 ，2） }其中（?1，?1）表示兩個(gè)硬幣皆出 A 面，各導(dǎo)致 1 倍虧損，其它同理。206?，F(xiàn)在有兩個(gè)期貨品種 I 和II，它們的價(jià)格由兩對(duì)硬幣的投擲結(jié)果確定（兩對(duì)可能共用或反用一個(gè)或兩個(gè)硬幣，從而使收益相關(guān)性變化）。 Markowitz 還定義了有效投資組合(efficient portfolio):給定期望收益時(shí)，使風(fēng)險(xiǎn)（?）達(dá)最小的組合；或者是給定風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，使期望（E）達(dá)最大的組合；或者是使 a= ??EP +?P 達(dá)最小的組合。市場利率比如：拆借利率，國債回購利率。比如通常的股票投資有下面三個(gè)限制條件：條件 I： （）??Nkq01這意味著可用現(xiàn)金和各項(xiàng)投資資產(chǎn)之和等于自有資產(chǎn)的 1倍，是在任何情況下成立的條件；條件 II：q k?1，k =0，1，...，N ；并且 （）??kq1或 q0?0，這意味著不許透支或貸款；條件 III：q k?0，k =1，2，...，N；這意味著不許賣空（賣空比如：期貨做空或股票先融券賣空，等低價(jià)買回平倉）。 圖 單硬幣打賭優(yōu)化投資比例 ——r1r2 平面圖上的等 q*線（不可透支和賣空， R0=；左邊：P 1=P2=；右邊：P 1=， P2=）45 / 254對(duì)于 節(jié)的打賭問題，將，P 1=P2=1/2，? 1=1，? 2=2，R 0=1 代入（）得 q*=，這就是說，最優(yōu)下注比例是 25%。同理。=；M=2）49 / 254對(duì)于一般的投資組合（多證券或項(xiàng)目），在允許貸款和賣空時(shí)，增值熵由（）變?yōu)? （）??????????? ??????????1,)log(0,1,)log(,100qRPqRPHiNkiki iiNkii ik其中 ??Nkq1（）其它變量參考（）類推。圖 手續(xù)費(fèi)對(duì)投資增量的影響（可賣空不可透支， q=， P1=P2=， R0=1， d=）結(jié)合本節(jié)和上一節(jié)公式，可以把增量優(yōu)化方法推廣到允許透支的情況和多證券情況。 由于（）成立，所以幾何平均收益隨著 N 增大可以無限地接近算術(shù)平均收益，即 （）ENH????12lim 考慮消費(fèi)和人力資源時(shí)的增值熵 及基金評(píng)價(jià)假設(shè)兩個(gè)投資基金 A 和 B，10 年內(nèi)幾何平均收益或總的相對(duì)增值相同，但是基金 A 每年收益是 20%，而基金B(yǎng) 各年收益不同，時(shí)贏時(shí)虧。d 越大，持倉不動(dòng)的區(qū)域，即 q*=q的白帶區(qū)越寬。0，?39。=max（0，q?1） 是貸款比例；?139。令 dH/dq=0，得 （） 02022??qRP整理得最優(yōu)投資比例公式 （）021*q???注意上式中的分子正好是期望超常收益。設(shè)幾何平均產(chǎn)出比為Rg 的證券組合在 T 年后增值為 M，即RgT=M （）則 （）Hglol?比較物理學(xué)公式 時(shí)間=距離/速度可見 H 反映了資金的增值速度。對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的讀者可以掠過數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)而只注意其中結(jié)論。標(biāo)準(zhǔn)方差反映了收益的不確定性或投資的風(fēng)險(xiǎn)。同樣的道理，分散買幾種同漲同跌振幅相同的股票和只買一種股票，風(fēng)險(xiǎn)是同樣的。253。有人會(huì)說：概率預(yù)測可能不準(zhǔn)，如此優(yōu)化仍然有用嗎？回答是：