【正文】 的CS雷達系統(tǒng)設計基于對稀疏目標回波幅度的優(yōu)化重建，采用的優(yōu)化算法主要是帶有約束條件的線性優(yōu)化方法，這些優(yōu)化方法大部分對噪聲都是敏感的。另外，實際的雷達環(huán)境和電波傳播過程中，普遍存在著較大的干擾和噪聲，這一方面影響目標信息的稀疏性，另一方面也嚴重干擾對目標信息重構的魯棒性和精度。2） 量化誤差影響：隨著雷達數(shù)字化技術和軟件化技術的不斷發(fā)展，進一步提高了硬件、軟件的集成化和模塊化程度?；夭ㄐ盘柕臄?shù)字化過程，以及在壓縮感知框架下的隨機采樣模式，會直接引入量化誤差。這些量化誤差以及誤差擴散都具有一定的偽隨機性，定量分析量化誤差的影響也是CS雷達實用化過程中一個不容小覷的問題。3） 相關性影響：相關性在壓縮感知理論中具有重要的地位，是壓縮感知得以實現(xiàn)的一個指標性因素。在CS雷達系統(tǒng)中，就涉及到目標分布、隨機采樣模型、噪聲和干擾以及感知矩陣等方面的相關性問題，所以，能否在實際CS雷達系統(tǒng)獲得有效的相關性控制模式，會成為影響目標信息能否有效重建的關鍵性問題。4） 失配問題：失配是實際系統(tǒng)中普遍存在的問題，對CS雷達系統(tǒng)尤其如此。由于CS雷達系統(tǒng)的多數(shù)重建算法對模型匹配度要求較高，如若要設計合理有效的CS雷達系統(tǒng)，匹配精度的提高，模型對失配的魯棒性，是必須關注的問題。 5） 檢測問題：目前傳統(tǒng)的雷達目標檢測理論已經(jīng)相當成熟，而對于新體制雷達之一的CS雷達目標檢測的方法還不得而知。文獻[37]中提出兩種檢測方案闡述了傳統(tǒng)雷達檢測與CS雷達重構關系，CSR雷達將有助于目標提高檢測性能。其中量化誤差、相關性影響都與低信噪比問題密切相關，CS雷達低信噪比重構檢測是CS雷達工程應用中迫切需要解決的問題之一。開展低SNR下CS 雷達信號重構檢測的研究，對深入研究CS重構理論，推廣CS理論在雷達系統(tǒng)中的應用，降低雷達系統(tǒng)復雜性，提高雷達探測性能具有重要意義。 本章總結 本章首先分析了傳統(tǒng)信號采樣過程和壓縮感知雷達采樣過程的異同，提出了傳統(tǒng)采樣過程中的不足，針對這一不足引入了壓縮感知理論。然后從CS理論的信號稀疏表示、信號測量及重構算法三方面進行闡述；其次，重點介紹了信號的重構部分，描述了幾種重構算法的優(yōu)劣，最后，介紹了目前CS雷達的兩種模型和壓縮感知雷達中一些亟待解決的問題。第三章 CAMP重構算法及自適應CAMP算法 引言第二章所描述的重構算法大多數(shù)是對于實數(shù)信號具有較好的重構效果，但對于雷達、通信等領域，信號一般在復數(shù)域進行處理，上述重構算法運算量大，且在復數(shù)域重構效果較差。本章引入一種新穎的信號重構算法，即CAMP算法，該算法是迭代閾值算法和消息傳遞算法的一種結合，是信息逼近傳遞（Approximate Message Passing，AMP）算法從實數(shù)域到復數(shù)域的推廣，能夠權衡計算復雜度和收斂速度的關系，真正解決壓縮感知重構問題。本章將首先介紹了迭代閾值算法和消息傳遞算法，兩者結合推導出了AMP算法，再將其從實數(shù)域擴展到復數(shù)域，從而得出了CAMP算法，然后采用自適應閾值研究自適應CAMP算法，使重構算法性能優(yōu)化，并通過仿真實驗驗證了該改進的有效性。 CAMP算法的提出CS理論通過對高維信號進行欠采樣，然后利用重構算法恢復出原始信號。目前，基于凸優(yōu)化技術的稀疏重構算法在處理超大規(guī)模信號時，計算復雜度高，資源消耗大，迫使研究者們尋求復雜度低的算法。近年來，為了尋找性能更好的稀疏優(yōu)化解，迭代閾值算法受到許多學者的廣泛關注和研究。 迭代閾值算法假設向量是對維未知信號的觀測值，觀測方程為。采用1范數(shù)的凸優(yōu)化技術找出稀疏解，叫做基追蹤?；粉櫵惴軌驕蚀_地重構信號，但其計算復雜度高，迫使研究者們尋找復雜度低的算法，故近年來迭代閾值這類算法備受關注。要求解未知信號，可通過求解： 來得到。式問題一般稱為基追蹤。由文獻[67]可知，基追蹤算法能夠準確地重構信號，但其計算復雜度高，因此，我們利用迭代閾值算法來解決此問題。迭代閾值算法介紹如下：迭代閾值算法的初始值為，主要迭代形式為： 式中表示在第次迭代時得到的信號估計值，表示第次迭代時剩余的殘差是第次迭代時所用的閾值參數(shù)，是閾值函數(shù)，其作用是在每次迭代時增強信號的稀疏性。若信號中不包含噪聲時，則算法性能很好，重構誤差近似收斂于0。：，閾值函數(shù)沿著垂直于平面的方向移動，收斂到平面上的解區(qū)域，即近似最優(yōu)解區(qū)域。，不同迭代閾值算法略有不同。目前，根據(jù)閾值函數(shù)的不同，已產(chǎn)生了很多迭代閾值算法[7274]，例如迭代軟閾值算法、迭代硬閾值算法等，且均表現(xiàn)出較快的收斂速度，但在效果上不如凸優(yōu)化類算法。因此，需要尋求更有效的算法來滿足收斂速度和效果上的要求。 消息傳遞算法談及消息傳遞算法，便會想到其中最常見的置信傳播算法[75]，它的迭代方式是通過圖的邊將變量聯(lián)系起來的。本小節(jié)我們給出利用圖論的知識推導出消息傳遞算法[7778]的迭代過程。主要有以下幾個部分：（a）創(chuàng)建圖解模型：考慮變量上的聯(lián)合概率分布形式： 式中：是超平免上的狄拉克分布。當時，的大部分值接近式的解。假設式的解是唯一的，那么應該在的邊緣附近。因此，我們可以用消息傳遞算法解決基追蹤問題。置信傳播，是一種在圖論模型上進行推斷的消息傳遞算法。在因子圖中，變量節(jié)點，因子節(jié)點，邊，因此，是包含個變量節(jié)點和個因子節(jié)點的完全二部圖。由此易知，式是依賴這個因子圖構建的，因子圖的邊是置信傳播的消息和。這些消息的更新規(guī)則是： 式和式中：上腳標表示迭代的次數(shù)，表示概率分布趨向于歸一化常數(shù)的特性。（b）考慮大規(guī)模系統(tǒng)：CS理論的提出就是為了解決大規(guī)模系統(tǒng)的問題，根據(jù)中心極限定理，消息近似服從N階高斯概率分布，消息十分接近高斯概率密度和拉普拉斯概率密度的乘積。接下來我們介紹下AMP算法的演變過程：定義實數(shù)域兩個變量和的柯氏距離為：，和分別表示分布的均值和方差，假設在可變節(jié)點和因子節(jié)點上存在，那么存在常量滿足下式： 式和式中參數(shù)為： 根據(jù)上面的分析，可以計算出的均值和方差，但需先已知下列密度： 用和分別表示的均值和方差，則有 假設在第次迭代時，從因子節(jié)點到可變節(jié)點的消息是，其中的定義參見式，所以下次迭代為： 這些消息的均值和方差為： 考慮迭代閾值算法中的軟閾值函數(shù)可改進為： 當時，可以對和進行簡化： 通過以上分析，當時，消息傳遞算法可以簡單描述如下： 由式和式中我們可以看出其更新過程易于實現(xiàn)，但整個算法仍然比較復雜，因為它需要更新次消息。下一節(jié)我們將簡化該更新式。 CAMP算法及自適應CAMP算法 理想CAMP算法文獻[44]在迭代閾值算法的基礎上進行修正，將其與消息傳遞算法的思想相結合，提出了AMP算法[44,76]。下面將給出有關AMP算法的推導過程，假設到的消息和到的消息近似為： 式和式中：。考慮如下一般的消息傳遞算法形式： 將式泰勒展開式可以寫為： 把式代入式得： 由于和較小，可以忽略不計，所以我們可以得到和的替換式： 式中：表示輸入向量的平均值。因此，AMP算法的迭代過程可以寫成： 同時，的迭代式如下所示： 實際上，在許多應用場景中，如在核磁共振成像和雷達中，信號形式通常為復數(shù)形式，因此本章采用在AMP算法基礎上延伸得到CAMP作為本小節(jié)討論的重構算法。下面我們將對CAMP算法做簡要分析：我們考慮最簡單的情況，假設原信號為稀疏信號，包含個非零元素，則可稱為稀疏。接著我們考慮從一組包含噪聲的測量值中恢復： 式中：為復高斯白噪聲，感知矩陣。我們定義兩個變量、為低采樣系數(shù)：；為信號的相對稀疏度：。在文獻[10]中，Maleki和Donoho通過理論分析，比較了幾種重構算法性能，總結出大部分性能良好的重構算法都是基于正則化最小二乘的，即眾所周知的LASSO或BPDN問題。LASSO問題的具體表達式如下： 式中：，和分別表示的實部和虛部。為正則化參數(shù)。一般情況下，式可通過標準的內點法或同倫法等求解[45]，然而，這些方法計算復雜度高，因此，學者們試圖考慮迭代算法。根據(jù)式所述的問題，可通過式求解一個封閉式的解： 式中：是指示函數(shù)，表示復數(shù)的相角，是復數(shù)的軟閾值函數(shù)。假設測量值，感知矩陣，閾值門限，需重構的稀疏信號都已知，下面給出理想的CAMP算法步驟：初始化：稀疏估計值，殘差，迭代次數(shù)；Step 1：，將感知矩陣的共軛與殘差相乘，加上的稀疏估計值，得到的非稀疏估計值，即；Step 2：求出與差值的均方差，作為噪聲均方差的估計值，即；Step 3：更新殘差：Step 4：用復數(shù)的軟閾值函數(shù)更新，即；Step 5：判斷是否小于給定的判定條件，小于的話，則迭代停止，輸出：，；否則，轉到Step 1迭代繼續(xù)。關于CAMP算法有以下幾點說明：（1）CAMP算法中的參數(shù)與LASSO問題中的參數(shù)等效，它們之間的關系為： 式使得CAMP算法能等效地準確解決LASSO問題。（2） Step2中的可看作，相當于噪聲分量，通過仿真擬合，由Error! Reference source not ：的經(jīng)驗分布近似服從均值為0，方差為的復高斯分布。是的均方差，算法輸出的。 第t次迭代噪聲分量的概率密度擬合曲線（3） CAMP算法是重構算法中首次發(fā)現(xiàn)了信號的非稀疏估計值。這個估計是非稀疏的，可應用軟閾值函數(shù)獲得稀疏估計。因此，我們稱此算法為理想CAMP算法。下面我們引入一個更實際的方案，其中將被估算值替代。 中值及自適應CAMP算法到目前為止，我們都是假設信號的相對稀疏度，噪聲均方差，需要恢復的稀疏信號，以及中非零元素的分布均已知。然而，在實際系統(tǒng)中，這些信息一般不能提前知道。為了接近于實際情況，在上節(jié)理想CAMP算法的基礎上，本節(jié)我們研究一種自適應CAMP算法，即只需知道測量值和感知矩陣，就能重構出原始信號或信號的某些參數(shù)。為了得到自適應方案，就必須解決如何在信號未知的情況下的兩個問題：（1）如何估計噪聲方差；（2）如何高效準確地尋找CAMP算法所需要的最優(yōu)門限；我們首先解決問題（1），對于這個問題，我們可以有幾種不同的解決方法，例如，可以使用中值來估計均方差，即： 式中：當時，噪聲方差的估計值是無偏的。然而，實際應用中，大多數(shù)情況下，此時式中噪聲方差的估計值是有偏的。其改進的主要優(yōu)勢是對低SNR時具有較好的魯棒性。為了說明這一點，考慮漸進條件下的中值估計，CAMP每次迭代中，都有，假定中的元素服從概率為的獨立同分布，其中，為單位沖激函數(shù)。為了估計的中值，我們求出滿足下式的作為其估計值： 文獻[37]中給出了與之間的誤差范圍： 由上述分析我們可以得到以下幾個結論：（1）用此種方法得出的噪聲均方差的估計值與中非零元素的分布無關；（2）在足夠稀疏的情況下，即很小時，此時，可認為誤差值與稀疏度成正比。因此，在實際情況中，原信號與噪聲都未知的情況下，用式作為噪聲均方差的估計值來處理理想CAMP算法所面臨的實際問題是可行的。我們將這種方法稱之為中值CAMP算法。，噪聲均方差的中值估計一般高于實際值，導致CAMP算法中的復數(shù)的軟閾值函數(shù)中的參數(shù)偏大，相當于整體門限值偏大，從而降低重構性能。這就引出了問題（2）：如何高效準確地尋找CAMP算法中所需要的最優(yōu)門限。假設指定中值CAMP算法中的參數(shù)，表明有且只有一個值（最優(yōu)門限，記為）可以使得最小。從圖中尋找，但是這種方法效率低且精度不高。所以考慮繼續(xù)改進中值CAMP算法來準確計算值。假設已知或者可以估算，滿足。然后給定步長，定義序列，其中。從開始，在第次迭代中，用和初始化CAMP。用前面的第次迭代的CAMP的解作為的初始值，CAMP只需要幾次迭代就可收斂到它的解，因此整個過程非常快。在次迭代后，可得到的解矩陣，其中每列對應于相應的，而且有個噪聲均方差的估計值。下面要從門限序列中選擇最優(yōu)的估計門限來最小化CAMP輸出的噪聲方差的估計值。很明顯，決定計算復雜度和算法估計的準確性的平衡。減小會增加搜索相同的范圍所需的點數(shù)，但它也會得到一個更準確的估計值?，F(xiàn)在來說明如何設置。在第一次迭代中（），初始化CAMP算法，，其中的是矩陣的共軛。假設是由估計的?？紤]式中的LASSO問題。當時，易知：唯一解向量就是零解。將，代入式，就可以計算出估計值。此算法可稱作自適應的CAMP算法，因為在這個算法里，噪聲均方差和最優(yōu)門限都是根據(jù)輸入變量自適應估計的。 實驗結果及分析為了驗證理想CAMP算法、中值CAMP算法及自適應CAMP算法的有效性，本節(jié)利用Matlab平臺對幾種不同重構算法的性能進行仿真。仿真實驗包括不同類型信號的重構，選取高斯隨機矩陣作為測量矩陣進行重構概率和重構誤差比較。假設仿真實驗選取的這樣兩類信號：第一類稀疏信號，即非零元素幅度服從的高斯分布的稀疏信號；第二類步進頻雷達信號。兩類信號均在高斯隨機測量矩陣條件下分別對理想CAMP算法、中值CAMP和自適應CAMP算法進行重構性能比較。仿真參數(shù)選取如下所示：表格3. 1稀疏重構的仿真參數(shù)105001000表格3. 1中，為信號的稀疏度，為測量向量的維數(shù)，為信號長度，為壓縮率，為相對稀疏度。利用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)評價算法的性能，稀疏向量的NMSE定義為： 式中：為在第次蒙特卡洛實驗時的估計值，代表蒙特卡洛的次數(shù)，代表Frobenius范數(shù)，表示信號的長度。實驗1：第一類稀疏信號，當高斯隨機測量矩陣作為測量矩陣時，理想CAMP算法、中值CAMP算法和自適應CAMP算法這三種重構算法對稀疏信號的重構情況、不同信噪比下100次蒙特卡羅實驗的重構概率和重構歸一化均方誤差比較。實驗參數(shù)設置：假設信號中非零元素的分布函數(shù)，目標個數(shù)已知。我們取，，幅度均為1，在此條件下，研究三種CAMP算法的性能。（a）理想CAMP算法 （b）中值CAMP算