【正文】 的CS雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于對(duì)稀疏目標(biāo)回波幅度的優(yōu)化重建，采用的優(yōu)化算法主要是帶有約束條件的線性優(yōu)化方法，這些優(yōu)化方法大部分對(duì)噪聲都是敏感的。另外，實(shí)際的雷達(dá)環(huán)境和電波傳播過(guò)程中，普遍存在著較大的干擾和噪聲，這一方面影響目標(biāo)信息的稀疏性，另一方面也嚴(yán)重干擾對(duì)目標(biāo)信息重構(gòu)的魯棒性和精度。2） 量化誤差影響：隨著雷達(dá)數(shù)字化技術(shù)和軟件化技術(shù)的不斷發(fā)展，進(jìn)一步提高了硬件、軟件的集成化和模塊化程度?；夭ㄐ盘?hào)的數(shù)字化過(guò)程，以及在壓縮感知框架下的隨機(jī)采樣模式，會(huì)直接引入量化誤差。這些量化誤差以及誤差擴(kuò)散都具有一定的偽隨機(jī)性，定量分析量化誤差的影響也是CS雷達(dá)實(shí)用化過(guò)程中一個(gè)不容小覷的問(wèn)題。3） 相關(guān)性影響：相關(guān)性在壓縮感知理論中具有重要的地位，是壓縮感知得以實(shí)現(xiàn)的一個(gè)指標(biāo)性因素。在CS雷達(dá)系統(tǒng)中，就涉及到目標(biāo)分布、隨機(jī)采樣模型、噪聲和干擾以及感知矩陣等方面的相關(guān)性問(wèn)題，所以，能否在實(shí)際CS雷達(dá)系統(tǒng)獲得有效的相關(guān)性控制模式，會(huì)成為影響目標(biāo)信息能否有效重建的關(guān)鍵性問(wèn)題。4） 失配問(wèn)題：失配是實(shí)際系統(tǒng)中普遍存在的問(wèn)題，對(duì)CS雷達(dá)系統(tǒng)尤其如此。由于CS雷達(dá)系統(tǒng)的多數(shù)重建算法對(duì)模型匹配度要求較高，如若要設(shè)計(jì)合理有效的CS雷達(dá)系統(tǒng)，匹配精度的提高，模型對(duì)失配的魯棒性，是必須關(guān)注的問(wèn)題。 5） 檢測(cè)問(wèn)題：目前傳統(tǒng)的雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，而對(duì)于新體制雷達(dá)之一的CS雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)的方法還不得而知。文獻(xiàn)[37]中提出兩種檢測(cè)方案闡述了傳統(tǒng)雷達(dá)檢測(cè)與CS雷達(dá)重構(gòu)關(guān)系，CSR雷達(dá)將有助于目標(biāo)提高檢測(cè)性能。其中量化誤差、相關(guān)性影響都與低信噪比問(wèn)題密切相關(guān)，CS雷達(dá)低信噪比重構(gòu)檢測(cè)是CS雷達(dá)工程應(yīng)用中迫切需要解決的問(wèn)題之一。開展低SNR下CS 雷達(dá)信號(hào)重構(gòu)檢測(cè)的研究，對(duì)深入研究CS重構(gòu)理論，推廣CS理論在雷達(dá)系統(tǒng)中的應(yīng)用，降低雷達(dá)系統(tǒng)復(fù)雜性，提高雷達(dá)探測(cè)性能具有重要意義。 本章總結(jié) 本章首先分析了傳統(tǒng)信號(hào)采樣過(guò)程和壓縮感知雷達(dá)采樣過(guò)程的異同，提出了傳統(tǒng)采樣過(guò)程中的不足，針對(duì)這一不足引入了壓縮感知理論。然后從CS理論的信號(hào)稀疏表示、信號(hào)測(cè)量及重構(gòu)算法三方面進(jìn)行闡述；其次，重點(diǎn)介紹了信號(hào)的重構(gòu)部分，描述了幾種重構(gòu)算法的優(yōu)劣，最后，介紹了目前CS雷達(dá)的兩種模型和壓縮感知雷達(dá)中一些亟待解決的問(wèn)題。第三章 CAMP重構(gòu)算法及自適應(yīng)CAMP算法 引言第二章所描述的重構(gòu)算法大多數(shù)是對(duì)于實(shí)數(shù)信號(hào)具有較好的重構(gòu)效果，但對(duì)于雷達(dá)、通信等領(lǐng)域，信號(hào)一般在復(fù)數(shù)域進(jìn)行處理，上述重構(gòu)算法運(yùn)算量大，且在復(fù)數(shù)域重構(gòu)效果較差。本章引入一種新穎的信號(hào)重構(gòu)算法，即CAMP算法，該算法是迭代閾值算法和消息傳遞算法的一種結(jié)合，是信息逼近傳遞（Approximate Message Passing，AMP）算法從實(shí)數(shù)域到復(fù)數(shù)域的推廣，能夠權(quán)衡計(jì)算復(fù)雜度和收斂速度的關(guān)系，真正解決壓縮感知重構(gòu)問(wèn)題。本章將首先介紹了迭代閾值算法和消息傳遞算法，兩者結(jié)合推導(dǎo)出了AMP算法，再將其從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域，從而得出了CAMP算法，然后采用自適應(yīng)閾值研究自適應(yīng)CAMP算法，使重構(gòu)算法性能優(yōu)化，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該改進(jìn)的有效性。 CAMP算法的提出CS理論通過(guò)對(duì)高維信號(hào)進(jìn)行欠采樣，然后利用重構(gòu)算法恢復(fù)出原始信號(hào)。目前，基于凸優(yōu)化技術(shù)的稀疏重構(gòu)算法在處理超大規(guī)模信號(hào)時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度高，資源消耗大，迫使研究者們尋求復(fù)雜度低的算法。近年來(lái)，為了尋找性能更好的稀疏優(yōu)化解，迭代閾值算法受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究。 迭代閾值算法假設(shè)向量是對(duì)維未知信號(hào)的觀測(cè)值，觀測(cè)方程為。采用1范數(shù)的凸優(yōu)化技術(shù)找出稀疏解，叫做基追蹤?；粉櫵惴軌驕?zhǔn)確地重構(gòu)信號(hào)，但其計(jì)算復(fù)雜度高，迫使研究者們尋找復(fù)雜度低的算法，故近年來(lái)迭代閾值這類算法備受關(guān)注。要求解未知信號(hào)，可通過(guò)求解： 來(lái)得到。式問(wèn)題一般稱為基追蹤。由文獻(xiàn)[67]可知，基追蹤算法能夠準(zhǔn)確地重構(gòu)信號(hào)，但其計(jì)算復(fù)雜度高，因此，我們利用迭代閾值算法來(lái)解決此問(wèn)題。迭代閾值算法介紹如下：迭代閾值算法的初始值為，主要迭代形式為： 式中表示在第次迭代時(shí)得到的信號(hào)估計(jì)值，表示第次迭代時(shí)剩余的殘差是第次迭代時(shí)所用的閾值參數(shù)，是閾值函數(shù)，其作用是在每次迭代時(shí)增強(qiáng)信號(hào)的稀疏性。若信號(hào)中不包含噪聲時(shí)，則算法性能很好，重構(gòu)誤差近似收斂于0。：，閾值函數(shù)沿著垂直于平面的方向移動(dòng)，收斂到平面上的解區(qū)域，即近似最優(yōu)解區(qū)域。，不同迭代閾值算法略有不同。目前，根據(jù)閾值函數(shù)的不同，已產(chǎn)生了很多迭代閾值算法[7274]，例如迭代軟閾值算法、迭代硬閾值算法等，且均表現(xiàn)出較快的收斂速度，但在效果上不如凸優(yōu)化類算法。因此，需要尋求更有效的算法來(lái)滿足收斂速度和效果上的要求。 消息傳遞算法談及消息傳遞算法，便會(huì)想到其中最常見的置信傳播算法[75]，它的迭代方式是通過(guò)圖的邊將變量聯(lián)系起來(lái)的。本小節(jié)我們給出利用圖論的知識(shí)推導(dǎo)出消息傳遞算法[7778]的迭代過(guò)程。主要有以下幾個(gè)部分：（a）創(chuàng)建圖解模型：考慮變量上的聯(lián)合概率分布形式： 式中：是超平免上的狄拉克分布。當(dāng)時(shí)，的大部分值接近式的解。假設(shè)式的解是唯一的，那么應(yīng)該在的邊緣附近。因此，我們可以用消息傳遞算法解決基追蹤問(wèn)題。置信傳播，是一種在圖論模型上進(jìn)行推斷的消息傳遞算法。在因子圖中，變量節(jié)點(diǎn)，因子節(jié)點(diǎn)，邊，因此，是包含個(gè)變量節(jié)點(diǎn)和個(gè)因子節(jié)點(diǎn)的完全二部圖。由此易知，式是依賴這個(gè)因子圖構(gòu)建的，因子圖的邊是置信傳播的消息和。這些消息的更新規(guī)則是： 式和式中：上腳標(biāo)表示迭代的次數(shù)，表示概率分布趨向于歸一化常數(shù)的特性。（b）考慮大規(guī)模系統(tǒng)：CS理論的提出就是為了解決大規(guī)模系統(tǒng)的問(wèn)題，根據(jù)中心極限定理，消息近似服從N階高斯概率分布，消息十分接近高斯概率密度和拉普拉斯概率密度的乘積。接下來(lái)我們介紹下AMP算法的演變過(guò)程：定義實(shí)數(shù)域兩個(gè)變量和的柯氏距離為：，和分別表示分布的均值和方差，假設(shè)在可變節(jié)點(diǎn)和因子節(jié)點(diǎn)上存在，那么存在常量滿足下式： 式和式中參數(shù)為： 根據(jù)上面的分析，可以計(jì)算出的均值和方差，但需先已知下列密度： 用和分別表示的均值和方差，則有 假設(shè)在第次迭代時(shí)，從因子節(jié)點(diǎn)到可變節(jié)點(diǎn)的消息是，其中的定義參見式，所以下次迭代為： 這些消息的均值和方差為： 考慮迭代閾值算法中的軟閾值函數(shù)可改進(jìn)為： 當(dāng)時(shí)，可以對(duì)和進(jìn)行簡(jiǎn)化： 通過(guò)以上分析，當(dāng)時(shí)，消息傳遞算法可以簡(jiǎn)單描述如下： 由式和式中我們可以看出其更新過(guò)程易于實(shí)現(xiàn)，但整個(gè)算法仍然比較復(fù)雜，因?yàn)樗枰麓蜗?。下一?jié)我們將簡(jiǎn)化該更新式。 CAMP算法及自適應(yīng)CAMP算法 理想CAMP算法文獻(xiàn)[44]在迭代閾值算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，將其與消息傳遞算法的思想相結(jié)合，提出了AMP算法[44,76]。下面將給出有關(guān)AMP算法的推導(dǎo)過(guò)程，假設(shè)到的消息和到的消息近似為： 式和式中：?？紤]如下一般的消息傳遞算法形式： 將式泰勒展開式可以寫為： 把式代入式得： 由于和較小，可以忽略不計(jì)，所以我們可以得到和的替換式： 式中：表示輸入向量的平均值。因此，AMP算法的迭代過(guò)程可以寫成： 同時(shí)，的迭代式如下所示： 實(shí)際上，在許多應(yīng)用場(chǎng)景中，如在核磁共振成像和雷達(dá)中，信號(hào)形式通常為復(fù)數(shù)形式，因此本章采用在AMP算法基礎(chǔ)上延伸得到CAMP作為本小節(jié)討論的重構(gòu)算法。下面我們將對(duì)CAMP算法做簡(jiǎn)要分析：我們考慮最簡(jiǎn)單的情況，假設(shè)原信號(hào)為稀疏信號(hào)，包含個(gè)非零元素，則可稱為稀疏。接著我們考慮從一組包含噪聲的測(cè)量值中恢復(fù)： 式中：為復(fù)高斯白噪聲，感知矩陣。我們定義兩個(gè)變量、為低采樣系數(shù)：；為信號(hào)的相對(duì)稀疏度：。在文獻(xiàn)[10]中，Maleki和Donoho通過(guò)理論分析，比較了幾種重構(gòu)算法性能，總結(jié)出大部分性能良好的重構(gòu)算法都是基于正則化最小二乘的，即眾所周知的LASSO或BPDN問(wèn)題。LASSO問(wèn)題的具體表達(dá)式如下： 式中：，和分別表示的實(shí)部和虛部。為正則化參數(shù)。一般情況下，式可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)點(diǎn)法或同倫法等求解[45]，然而，這些方法計(jì)算復(fù)雜度高，因此，學(xué)者們?cè)噲D考慮迭代算法。根據(jù)式所述的問(wèn)題，可通過(guò)式求解一個(gè)封閉式的解： 式中：是指示函數(shù)，表示復(fù)數(shù)的相角，是復(fù)數(shù)的軟閾值函數(shù)。假設(shè)測(cè)量值，感知矩陣，閾值門限，需重構(gòu)的稀疏信號(hào)都已知，下面給出理想的CAMP算法步驟：初始化：稀疏估計(jì)值，殘差，迭代次數(shù)；Step 1：，將感知矩陣的共軛與殘差相乘，加上的稀疏估計(jì)值，得到的非稀疏估計(jì)值，即；Step 2：求出與差值的均方差，作為噪聲均方差的估計(jì)值，即；Step 3：更新殘差：Step 4：用復(fù)數(shù)的軟閾值函數(shù)更新，即；Step 5：判斷是否小于給定的判定條件，小于的話，則迭代停止，輸出：，；否則，轉(zhuǎn)到Step 1迭代繼續(xù)。關(guān)于CAMP算法有以下幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）CAMP算法中的參數(shù)與LASSO問(wèn)題中的參數(shù)等效，它們之間的關(guān)系為： 式使得CAMP算法能等效地準(zhǔn)確解決LASSO問(wèn)題。（2） Step2中的可看作，相當(dāng)于噪聲分量，通過(guò)仿真擬合，由Error! Reference source not ：的經(jīng)驗(yàn)分布近似服從均值為0，方差為的復(fù)高斯分布。是的均方差，算法輸出的。 第t次迭代噪聲分量的概率密度擬合曲線（3） CAMP算法是重構(gòu)算法中首次發(fā)現(xiàn)了信號(hào)的非稀疏估計(jì)值。這個(gè)估計(jì)是非稀疏的，可應(yīng)用軟閾值函數(shù)獲得稀疏估計(jì)。因此，我們稱此算法為理想CAMP算法。下面我們引入一個(gè)更實(shí)際的方案，其中將被估算值替代。 中值及自適應(yīng)CAMP算法到目前為止，我們都是假設(shè)信號(hào)的相對(duì)稀疏度，噪聲均方差，需要恢復(fù)的稀疏信號(hào)，以及中非零元素的分布均已知。然而，在實(shí)際系統(tǒng)中，這些信息一般不能提前知道。為了接近于實(shí)際情況，在上節(jié)理想CAMP算法的基礎(chǔ)上，本節(jié)我們研究一種自適應(yīng)CAMP算法，即只需知道測(cè)量值和感知矩陣，就能重構(gòu)出原始信號(hào)或信號(hào)的某些參數(shù)。為了得到自適應(yīng)方案，就必須解決如何在信號(hào)未知的情況下的兩個(gè)問(wèn)題：（1）如何估計(jì)噪聲方差；（2）如何高效準(zhǔn)確地尋找CAMP算法所需要的最優(yōu)門限；我們首先解決問(wèn)題（1），對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以有幾種不同的解決方法，例如，可以使用中值來(lái)估計(jì)均方差，即： 式中：當(dāng)時(shí)，噪聲方差的估計(jì)值是無(wú)偏的。然而，實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)情況下，此時(shí)式中噪聲方差的估計(jì)值是有偏的。其改進(jìn)的主要優(yōu)勢(shì)是對(duì)低SNR時(shí)具有較好的魯棒性。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，考慮漸進(jìn)條件下的中值估計(jì)，CAMP每次迭代中，都有，假定中的元素服從概率為的獨(dú)立同分布，其中，為單位沖激函數(shù)。為了估計(jì)的中值，我們求出滿足下式的作為其估計(jì)值： 文獻(xiàn)[37]中給出了與之間的誤差范圍： 由上述分析我們可以得到以下幾個(gè)結(jié)論：（1）用此種方法得出的噪聲均方差的估計(jì)值與中非零元素的分布無(wú)關(guān)；（2）在足夠稀疏的情況下，即很小時(shí)，此時(shí)，可認(rèn)為誤差值與稀疏度成正比。因此，在實(shí)際情況中，原信號(hào)與噪聲都未知的情況下，用式作為噪聲均方差的估計(jì)值來(lái)處理理想CAMP算法所面臨的實(shí)際問(wèn)題是可行的。我們將這種方法稱之為中值CAMP算法。，噪聲均方差的中值估計(jì)一般高于實(shí)際值，導(dǎo)致CAMP算法中的復(fù)數(shù)的軟閾值函數(shù)中的參數(shù)偏大，相當(dāng)于整體門限值偏大，從而降低重構(gòu)性能。這就引出了問(wèn)題（2）：如何高效準(zhǔn)確地尋找CAMP算法中所需要的最優(yōu)門限。假設(shè)指定中值CAMP算法中的參數(shù)，表明有且只有一個(gè)值（最優(yōu)門限，記為）可以使得最小。從圖中尋找，但是這種方法效率低且精度不高。所以考慮繼續(xù)改進(jìn)中值CAMP算法來(lái)準(zhǔn)確計(jì)算值。假設(shè)已知或者可以估算，滿足。然后給定步長(zhǎng)，定義序列，其中。從開始，在第次迭代中，用和初始化CAMP。用前面的第次迭代的CAMP的解作為的初始值，CAMP只需要幾次迭代就可收斂到它的解，因此整個(gè)過(guò)程非常快。在次迭代后，可得到的解矩陣，其中每列對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的，而且有個(gè)噪聲均方差的估計(jì)值。下面要從門限序列中選擇最優(yōu)的估計(jì)門限來(lái)最小化CAMP輸出的噪聲方差的估計(jì)值。很明顯，決定計(jì)算復(fù)雜度和算法估計(jì)的準(zhǔn)確性的平衡。減小會(huì)增加搜索相同的范圍所需的點(diǎn)數(shù)，但它也會(huì)得到一個(gè)更準(zhǔn)確的估計(jì)值?，F(xiàn)在來(lái)說(shuō)明如何設(shè)置。在第一次迭代中（），初始化CAMP算法，，其中的是矩陣的共軛。假設(shè)是由估計(jì)的?？紤]式中的LASSO問(wèn)題。當(dāng)時(shí)，易知：唯一解向量就是零解。將，代入式，就可以計(jì)算出估計(jì)值。此算法可稱作自適應(yīng)的CAMP算法，因?yàn)樵谶@個(gè)算法里，噪聲均方差和最優(yōu)門限都是根據(jù)輸入變量自適應(yīng)估計(jì)的。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析為了驗(yàn)證理想CAMP算法、中值CAMP算法及自適應(yīng)CAMP算法的有效性，本節(jié)利用Matlab平臺(tái)對(duì)幾種不同重構(gòu)算法的性能進(jìn)行仿真。仿真實(shí)驗(yàn)包括不同類型信號(hào)的重構(gòu)，選取高斯隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣進(jìn)行重構(gòu)概率和重構(gòu)誤差比較。假設(shè)仿真實(shí)驗(yàn)選取的這樣兩類信號(hào)：第一類稀疏信號(hào)，即非零元素幅度服從的高斯分布的稀疏信號(hào)；第二類步進(jìn)頻雷達(dá)信號(hào)。兩類信號(hào)均在高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣條件下分別對(duì)理想CAMP算法、中值CAMP和自適應(yīng)CAMP算法進(jìn)行重構(gòu)性能比較。仿真參數(shù)選取如下所示：表格3. 1稀疏重構(gòu)的仿真參數(shù)105001000表格3. 1中，為信號(hào)的稀疏度，為測(cè)量向量的維數(shù)，為信號(hào)長(zhǎng)度，為壓縮率，為相對(duì)稀疏度。利用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)評(píng)價(jià)算法的性能，稀疏向量的NMSE定義為： 式中：為在第次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)時(shí)的估計(jì)值，代表蒙特卡洛的次數(shù)，代表Frobenius范數(shù)，表示信號(hào)的長(zhǎng)度。實(shí)驗(yàn)1：第一類稀疏信號(hào)，當(dāng)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣作為測(cè)量矩陣時(shí)，理想CAMP算法、中值CAMP算法和自適應(yīng)CAMP算法這三種重構(gòu)算法對(duì)稀疏信號(hào)的重構(gòu)情況、不同信噪比下100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的重構(gòu)概率和重構(gòu)歸一化均方誤差比較。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置：假設(shè)信號(hào)中非零元素的分布函數(shù)，目標(biāo)個(gè)數(shù)已知。我們?nèi)?，，幅度均?，在此條件下，研究三種CAMP算法的性能。（a）理想CAMP算法 （b）中值CAMP算