第五章二項(xiàng)樹定價(jià)模型金融衍生品定價(jià)理論講義-資料下載頁
2025-06-27 15:50本頁面
【正文】 價(jià)格的現(xiàn)值，從而增加期權(quán)的價(jià)格（盡管無風(fēng)險(xiǎn)利率增加時(shí)，會(huì)導(dǎo)致減少，但這種影響是次要的）。至于到期日和股票價(jià)格的方差，它們的變化對(duì)期權(quán)價(jià)格的絕對(duì)影響并不是顯然的，需要通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明來得到。3．利用等價(jià)鞅測(cè)度的觀點(diǎn)，由（8）式 =看漲期權(quán)的價(jià)格等于期權(quán)在期末的期望支付的折現(xiàn)值，這里所用的概率為等價(jià)鞅測(cè)度，折現(xiàn)利用無風(fēng)險(xiǎn)利率。4．向上和向下乘子的確定 如果我們假設(shè)標(biāo)的股票在期權(quán)到期日的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。由第四章的內(nèi)容，我們知道可以用二項(xiàng)分布來逼近對(duì)數(shù)正態(tài)分布。如果二項(xiàng)樹模型取如下形式： （13）向上和向下乘子為則期權(quán)的定價(jià)公式依賴于股票價(jià)格的漂移項(xiàng)。 因?yàn)楣善钡钠祈?xiàng)一個(gè)非常難以準(zhǔn)確估計(jì)的量，所以我們確定在等價(jià)鞅測(cè)度下股票的漂移項(xiàng)。在等價(jià)鞅測(cè)度下而由第四章對(duì)數(shù)正態(tài)分布的公式我們有所以這時(shí)，股票價(jià)格的二項(xiàng)樹模型滿足向上和向下乘子為這時(shí)，期權(quán)的定價(jià)公式不依賴于漂移項(xiàng)。值得注意的是，在連續(xù)交易條件下，不管我們的二項(xiàng)樹模型如何選取，期權(quán)的定價(jià)公式都不依賴于股票價(jià)格的漂移項(xiàng)。例子：5． 二項(xiàng)模型推廣到連續(xù)時(shí)間——BlackScholes 期權(quán)定價(jià)模型 在上一小節(jié)，我們把一段固定的時(shí)間等分成個(gè)時(shí)間區(qū)間，利用二項(xiàng)模型，得到期權(quán)定價(jià)的公式(11)。當(dāng)我們把一段固定的時(shí)間（比如一年）分成越來越多的時(shí)間區(qū)間，并對(duì)每一次分割利用公式(11)時(shí)，我們就得到連續(xù)時(shí)間下的期權(quán)定價(jià)公式。下面，我們假設(shè)為期權(quán)的到期日，的單位是年，可以是一年的任何一部分（），也可以是幾年（例如3年）。我們把分成個(gè)小的時(shí)間區(qū)間。當(dāng)越來越大時(shí)，每個(gè)時(shí)間區(qū)間越來越小，在極限狀態(tài)下，我們得到連續(xù)時(shí)間情形。注意，在前面的幾節(jié)里，表示的是時(shí)間區(qū)間的個(gè)數(shù)，而在這兒，表示一段時(shí)間區(qū)間。設(shè)為年利率，采用連續(xù)計(jì)算復(fù)利的方式。設(shè)為股票回報(bào)率的瞬時(shí)方差。Cox，Ross和Rubinstein(1979)得到了與二項(xiàng)模型里股票上漲和下跌的程度之間的關(guān)系：以及。 連續(xù)時(shí)間的期權(quán)定價(jià)公式，是由Black和Scholes在1973年得到的，公式如下： (13)這里在(13)式中，表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)，即，這里是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。 為了和前面的期權(quán)定價(jià)的二項(xiàng)模型作比較，我們把期權(quán)定價(jià)的二項(xiàng)公式重新寫在下面： (14)(13)與(14)式非常類似，和是一樣的，而與分別表示離散和連續(xù)的折現(xiàn)計(jì)算公式。另外，Cox，Ross和Rubinstein(1979)證明了如下的關(guān)系：當(dāng)趨于無窮大時(shí)，所以，BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式是期權(quán)定價(jià)二項(xiàng)公式的極限情形。 注：在實(shí)際操作中應(yīng)該注意，BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式僅僅適用于標(biāo)的股票不支付紅利的情形。6．期貨合約定價(jià) 期貨合約是用來對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)的重要衍生證券種類。理解當(dāng)標(biāo)的證券的價(jià)格發(fā)生變化時(shí)期貨價(jià)格的變化時(shí)至關(guān)重要的。我們利用股票和無風(fēng)險(xiǎn)證券來構(gòu)造復(fù)合證券來模擬期貨合約的現(xiàn)金流和價(jià)格。 期貨合約具有不同于期權(quán)合約的特性。在每一期期初，期貨合約的價(jià)格使得期貨合約對(duì)于交易的雙方而言價(jià)值均為0。在每一個(gè)交易日結(jié)束后，合約被清算。這一特性使得期貨合約的構(gòu)造和定價(jià)得以簡(jiǎn)化。我們用一個(gè)例子來進(jìn)行說明。例子： 上述例子說明，合成的期貨合約和待定價(jià)的期貨合約在不同時(shí)間和狀態(tài)的現(xiàn)金流和格均相同?，F(xiàn)金流相匹配發(fā)生在期貨合約的清算和合成合約的重新構(gòu)造時(shí)。這種清算不同于期權(quán)合約的構(gòu)造過程。11
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