第五章二項樹定價模型金融衍生品定價理論講義-資料下載頁
2025-06-27 15:50本頁面
【正文】 價格的現(xiàn)值，從而增加期權(quán)的價格（盡管無風(fēng)險利率增加時，會導(dǎo)致減少，但這種影響是次要的）。至于到期日和股票價格的方差，它們的變化對期權(quán)價格的絕對影響并不是顯然的，需要通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明來得到。3．利用等價鞅測度的觀點，由（8）式 =看漲期權(quán)的價格等于期權(quán)在期末的期望支付的折現(xiàn)值，這里所用的概率為等價鞅測度，折現(xiàn)利用無風(fēng)險利率。4．向上和向下乘子的確定 如果我們假設(shè)標(biāo)的股票在期權(quán)到期日的價格服從對數(shù)正態(tài)分布。由第四章的內(nèi)容，我們知道可以用二項分布來逼近對數(shù)正態(tài)分布。如果二項樹模型取如下形式： （13）向上和向下乘子為則期權(quán)的定價公式依賴于股票價格的漂移項。 因為股票的漂移項一個非常難以準(zhǔn)確估計的量，所以我們確定在等價鞅測度下股票的漂移項。在等價鞅測度下而由第四章對數(shù)正態(tài)分布的公式我們有所以這時，股票價格的二項樹模型滿足向上和向下乘子為這時，期權(quán)的定價公式不依賴于漂移項。值得注意的是，在連續(xù)交易條件下，不管我們的二項樹模型如何選取，期權(quán)的定價公式都不依賴于股票價格的漂移項。例子：5． 二項模型推廣到連續(xù)時間——BlackScholes 期權(quán)定價模型 在上一小節(jié)，我們把一段固定的時間等分成個時間區(qū)間，利用二項模型，得到期權(quán)定價的公式(11)。當(dāng)我們把一段固定的時間（比如一年）分成越來越多的時間區(qū)間，并對每一次分割利用公式(11)時，我們就得到連續(xù)時間下的期權(quán)定價公式。下面，我們假設(shè)為期權(quán)的到期日，的單位是年，可以是一年的任何一部分（），也可以是幾年（例如3年）。我們把分成個小的時間區(qū)間。當(dāng)越來越大時，每個時間區(qū)間越來越小，在極限狀態(tài)下，我們得到連續(xù)時間情形。注意，在前面的幾節(jié)里，表示的是時間區(qū)間的個數(shù)，而在這兒，表示一段時間區(qū)間。設(shè)為年利率，采用連續(xù)計算復(fù)利的方式。設(shè)為股票回報率的瞬時方差。Cox，Ross和Rubinstein(1979)得到了與二項模型里股票上漲和下跌的程度之間的關(guān)系：以及。 連續(xù)時間的期權(quán)定價公式，是由Black和Scholes在1973年得到的，公式如下： (13)這里在(13)式中，表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)，即，這里是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。 為了和前面的期權(quán)定價的二項模型作比較，我們把期權(quán)定價的二項公式重新寫在下面： (14)(13)與(14)式非常類似，和是一樣的，而與分別表示離散和連續(xù)的折現(xiàn)計算公式。另外，Cox，Ross和Rubinstein(1979)證明了如下的關(guān)系：當(dāng)趨于無窮大時，所以，BlackScholes期權(quán)定價公式是期權(quán)定價二項公式的極限情形。 注：在實際操作中應(yīng)該注意，BlackScholes期權(quán)定價公式僅僅適用于標(biāo)的股票不支付紅利的情形。6．期貨合約定價 期貨合約是用來對沖風(fēng)險的重要衍生證券種類。理解當(dāng)標(biāo)的證券的價格發(fā)生變化時期貨價格的變化時至關(guān)重要的。我們利用股票和無風(fēng)險證券來構(gòu)造復(fù)合證券來模擬期貨合約的現(xiàn)金流和價格。 期貨合約具有不同于期權(quán)合約的特性。在每一期期初，期貨合約的價格使得期貨合約對于交易的雙方而言價值均為0。在每一個交易日結(jié)束后，合約被清算。這一特性使得期貨合約的構(gòu)造和定價得以簡化。我們用一個例子來進行說明。例子： 上述例子說明，合成的期貨合約和待定價的期貨合約在不同時間和狀態(tài)的現(xiàn)金流和格均相同?，F(xiàn)金流相匹配發(fā)生在期貨合約的清算和合成合約的重新構(gòu)造時。這種清算不同于期權(quán)合約的構(gòu)造過程。11
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