【正文】 套利投資組合的條件 ? 用數(shù)學(xué)表示為 ? 套利具有“免費(fèi)午餐” 的性質(zhì) –零投資 –無風(fēng)險(xiǎn) –正利潤(rùn)。 111000niiniiiniiiwbwwr??????????????????（二）套利投資組合的構(gòu)造 ? 股票 A、 B、 C、 D（四種股票的價(jià)格都為 10元），在利率、通脹四種不同情況（概率相同）下的資產(chǎn)和資產(chǎn)組合的收益率如下表所示： 名稱 高實(shí)際利率 低實(shí)際利率 高通脹率 低通脹率 高通脹率 低通脹率 概率 A 20 20 40 60 B 0 70 30 20 C 90 20 10 70 D 15 23 15 36 四種股票的收益率（ %）統(tǒng)計(jì) 股票 現(xiàn)價(jià) 期望收益 標(biāo)準(zhǔn) 差 相關(guān)系數(shù) A B C D A 10 25 B 10 20 C 10 D 10 套利投資組合的構(gòu)造 ? 將 A、 B、 C三種股票按等權(quán)重構(gòu)成投資組合 T與 D的可能收益率（ %）比較 高利率 低利率 高通脹 低通脹 高通脹 低通脹 組合 T 20 股票 D 15 15 23 36 套利投資組合的構(gòu)造 T與 D的收益率（ %）與相關(guān)系數(shù) 期望收益 標(biāo)準(zhǔn)差 相關(guān)系數(shù) 組合 T 股票 D 套利投資組合的構(gòu)造 ? T與 D相關(guān)系數(shù)不為 1，表明兩者出現(xiàn)價(jià)格差并不違背一價(jià)原則，但是，在任何情況下，組合T都優(yōu)于股票 D，投資者可以賣空股票 D，然后再購(gòu)買組合 T，這樣，便構(gòu)成一個(gè)總投資額為零的投資組合，即零投資組合。 ? 假定作 300000股 D的空頭，獲取 300萬元，并用這筆資金購(gòu)股 A、 B、 C各 100000股，收益情況如下： 套利投資組合的構(gòu)造 股票 投資額(萬元 ) 高利率 低利率 高通脹 低通脹 高通脹 低通脹 A 100 20 40 20 60 B 100 0 30 70 20 C 100 90 10 20 70 D 300 45 45 69 108 零投資組合 0 25 15 1 2 零投資組合的可能收益率 ?在任何經(jīng)濟(jì)形勢(shì)下，均能以無成本獲得正的收益。 （三）套利與均衡 ? 存在套利機(jī)會(huì)表明市場(chǎng)是非均衡的，而套利者的行為會(huì)改變市場(chǎng)供求關(guān)系，最終導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)的消失，此時(shí)，達(dá)到市場(chǎng)均衡狀態(tài)。 三、套利定價(jià)理論 ? （一）套利定價(jià)理論的假設(shè)條件 ? 股票的收益率取決于系統(tǒng)因素和非系統(tǒng)因素； ? 市場(chǎng)中存在大量的不同資產(chǎn)，是完全競(jìng)爭(zhēng)的； ? 市場(chǎng)中允許賣空，賣空所得款項(xiàng)歸賣空者所有； ? 投資者偏向獲利較多的投資策略。 （一）套利定價(jià)理論的假設(shè)條件 ? 羅斯的分析是從單因素模型開始的 。 APT假設(shè)證券回報(bào)可以用預(yù)期到的回報(bào)和未預(yù)期到的回報(bào)兩個(gè)部分來解釋 ， 構(gòu)成了一個(gè)特殊的因子模型 。 iiii eFbr ??? ?預(yù)期到的回報(bào) 未預(yù)期到的變化 單因素模型的另一種表述及套利機(jī)會(huì) ? 如果將單因素模型寫成風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬的形式，即有： )( 1 ifiifi erFrr ????? ??? 預(yù)期的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬為： ]))([)( 1 fiifi rFErrE ???? ??? 截距項(xiàng) αi ≠0 時(shí)，可作套利組合（由風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合，再與無風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成零資金組合，再作套利）。 ? 無套利機(jī)會(huì)下，截距項(xiàng) αi =0 （二） 充分分散化的資產(chǎn)組合 的套利定價(jià) ? 充分分散化的資產(chǎn)組合收益 ? 資產(chǎn)組合充分分散 ， 非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)會(huì)完全分散掉 。 ? 假定有一由 n種股票按權(quán)重組成的資產(chǎn)組合 ， 每一股票的權(quán)重為 wi， 因此有 ∑ wi =1， 則該資產(chǎn)組合的收益率為 rP=E(rP)+223。PF+eP ? 223。P= ∑ wi223。i ? eP = ∑ wiei ? 投資組合的方差分為系統(tǒng)的和非系統(tǒng)的兩部分 ， 有 : ? rp=E( rp)+ 223。pF ? ?2P = 223。2P?2F+?2(eP) 充分分散化的資產(chǎn)組合收益 F 如果資產(chǎn)組合不是等權(quán)重的 ， 結(jié)論仍然成立 。 F 假定有一由 1000只股票構(gòu)成的資產(chǎn)組合 。 我們令第一只股票的頭寸為 w%， 令第二只股票的頭寸為2w%， 第三只為 3w%， …… ， 第一千只股票的頭寸為 1000w%。 F 有 w+2w+… +1000w=1， 求解 w， 有 500500w=1，w=%。 那么 ， 1000w=%。 F 這就是說 ， 在這個(gè)非等權(quán)重的資產(chǎn)組合中權(quán)重最大的一只股票的頭寸只占全部資產(chǎn)的 %， 即占全部資產(chǎn)的 1%的 。 我們的結(jié)論是 ， 只要資產(chǎn)組合是充分分散化的 ， 無論是不是等權(quán)重的 ， 非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)都會(huì)被分散掉 。 充分分散化的資產(chǎn)組合收益 ? 在充分分散投資組合中， 非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)會(huì)完全分散掉， eP的實(shí)際值也可以被視為零。 ? 于是，可以將充分分散投資組合的實(shí)際收益率寫為： ? rP= E(rP) + 223。PF （單因素） ? 且 ?p = 223。P ? F ? 與前式比較，單個(gè)證券收益率與共同因子 F之間不存在線性關(guān)系，但是充分分散投資組合 P與 F之間則具有線性關(guān)系。 充分分散投資組合 P；單個(gè)證券 S。 且 223。P = 223。S =1； E(rP) = E(rS) =10% F 收益率 P F 收益率 S 10% 10% 充分分散化的資產(chǎn)組合收益 充分分散化的資產(chǎn)組合幾何表達(dá) ? 圖中的實(shí)線顯示在不同的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)下，一個(gè)223。A=1 的充分分散化資產(chǎn)組合 A的收益情況。資產(chǎn)組合 A的期望收益是 10%，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)為 0， ? 由于 223。A=1，因此資產(chǎn)組合的收益為 ? E(rA)+223。AF=10%+ F 如果系統(tǒng)因素 F為 3%，那么，資產(chǎn)組合的收益就為 10%+3%=13%；如果系統(tǒng)因素 F為 3%，那么，資產(chǎn)組合的收益就為 10%3%=7%。 ? 223。B= 223。 A E(RA)=E(RB) ? 假設(shè) B是和 A 一樣也是充分分散的投資組合 223。B= 223。 A =1； E(rA) =10% ； E(rB) =8% 10% 8% 收益率 F A B 相同 223。的充分分散化資產(chǎn)組合的收益是唯一的 A和 B是否可以在圖中的條件下共存呢？ 相同 223。的充分分散化資產(chǎn)組合的收益是唯一的 ? 顯然不行。因?yàn)椴徽撓到y(tǒng)因素為多大， A大于B都會(huì)導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)的出現(xiàn)。所有的投資者都會(huì)愿意買入資產(chǎn)組合 A，同時(shí)賣空資產(chǎn)組合 B，無論系統(tǒng)因素為多大，都可以獲得 2%的套利毛利潤(rùn)。 ? 如果投資者的套利規(guī)模為 1000萬，套利的毛利潤(rùn)就是 20萬，還沒有風(fēng)險(xiǎn)。在套利活動(dòng)的作用下，兩個(gè)資產(chǎn)組合的收益差會(huì)逐漸消失，相同貝塔值的充分分散化的資產(chǎn)組合的均衡收益是唯一的。一旦不再唯一，就有套利的機(jī)會(huì)，而套利會(huì)使收益差消除。 套利組合及套利過程 ? 在資產(chǎn)組合， ? A上做多頭： (+) 1000萬 ? B上做空頭： （ +） 1000萬 ? 1000=20萬（凈收益） ? 假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為 4%，兩個(gè)充分分散投資組合 P與 C ? 223。P =1； 223。C = ； E(rP) =10% ； E(rC) =6% ? 假定新組合 D由組合 P與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按等權(quán)重構(gòu)成，則有， 223。D =*1+*0=； ? E(rD) =* 10% +*4%=7% ? 比較 D與 C，兩個(gè)組合具有相同的風(fēng)險(xiǎn)，但 D的期望收益更高，即 D優(yōu)于 C，此時(shí)存在套利機(jī)會(huì)。 相同 223。的充分分散化資產(chǎn)組合的收益是唯一的 133 期望收益率 % Beta（ F） 10 7 6 無風(fēng)險(xiǎn)利率 4 P D C .5 相同 223。的充分分散化資產(chǎn)組合的收益是唯一的 套利組合及套利過程 ? 做 D多頭： ( + +) 100萬 ? 做 C空頭： （ +） 100萬 ? 結(jié)果是：套利組合的收益為正；收益無風(fēng)險(xiǎn)，即套利組合對(duì)因素的敏感度為零；凈投資為零。 不同貝塔值的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)與貝塔成比例 ? 首先，所有充分分散化資產(chǎn)組合的期望收益都是在無風(fēng)險(xiǎn)收益的基礎(chǔ)上系統(tǒng)因素的線性函數(shù)，如果無風(fēng)險(xiǎn)收益為 4%，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)為 6%。當(dāng)貝塔值為 時(shí)，期望收益為 7%；當(dāng)貝塔值為 1時(shí)，期望收益為 10%；任何貝塔值為 的組合期望收益都是斜線上同一點(diǎn)，如果不是，就存在套利機(jī)會(huì)。 套利活動(dòng)會(huì)使具有相同貝塔值，充分分散化資產(chǎn)組合的期望收益趨于相同。而所有貝塔值不同的資產(chǎn)組合的期望收益都會(huì)在同一條斜線上，一旦出現(xiàn)不在一條線的情況，實(shí)際就等于有相同的貝塔值，但期望收益不同，這當(dāng)然會(huì)導(dǎo)致套利。 充分分散化的資產(chǎn)組合 的套利定價(jià) ? 要消除套利機(jī)會(huì)，達(dá)到均衡狀態(tài)，則要求 C落在直線 PD上。 ? 也就是說，在市場(chǎng)處于均衡的狀態(tài)下，所有充分分散投資組合必定位于始于無風(fēng)險(xiǎn)利率的同一條直線上，該直線的方程式為： PfP RRE ????)(? 其中 λ為直線斜率，代表單位風(fēng)險(xiǎn)的報(bào)酬，也稱為風(fēng)險(xiǎn)因子的報(bào)酬。 ? 這就是充分分散投資組合的套利定價(jià)模型，它描述了市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，任意充分分散投資組合期望收益率與其風(fēng)險(xiǎn)（ 223。 ）的關(guān)系。 套利定價(jià)模型與 CAPM的比較 ? APT是比 CAPM更為一般的資產(chǎn)定價(jià)模型 ? ，它假設(shè)均衡中的資產(chǎn)收益取決于多個(gè)不同的外生因素，而 CAPM中的資產(chǎn)收益只取決于一個(gè)單一的市場(chǎng)組合因素。從這個(gè)意義上看， CAPM只是 APT的一個(gè)特例。 ? 好、資產(chǎn)的收益分布呈正態(tài)分布，而 APT則不作這類限制，但它與 CAPM一樣，要求所有投資者對(duì)資產(chǎn)的期望收益和方差、協(xié)方差的估計(jì)一致。 套利定價(jià)模型與 CAPM的比較 ? CAPM用 beta系數(shù)來解釋風(fēng)險(xiǎn)的大小，但無法告訴投資者風(fēng)險(xiǎn)來自何處； 而 APT用多個(gè)因素共同來解釋。如用通貨膨脹的意外變化、工業(yè)生產(chǎn)的意外變化、風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)囊馔庾兓屠势谙藿Y(jié)構(gòu)的意外變化，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、通貨膨脹率、公司規(guī)模等許多因素解釋證券價(jià)格的波動(dòng)，并獲得了很明確的結(jié)論。