最小二乘法的基本原理和多項(xiàng)式擬合-資料下載頁
2025-06-25 02:52本頁面
【正文】 (9)③對(duì)平移后的節(jié)點(diǎn)(i=0,1,…，m),再作壓縮或擴(kuò)張?zhí)幚恚邯? （10）其中,（r是擬合次數(shù)） （11） 經(jīng)過這樣調(diào)整可以使的數(shù)量級(jí)不太大也不太小，特別對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)，作式（10）和式（11）兩項(xiàng)變換后，其正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣設(shè) 為A，則對(duì)1～4次多項(xiàng)式擬合，條件數(shù)都不太大，都可以得到滿意的結(jié)果。變換后的條件數(shù)上限表如下：擬合次數(shù)1234=1435④在實(shí)際應(yīng)用中還可以利用正交多項(xiàng)式求擬合多項(xiàng)式。一種方法是構(gòu)造離散正交多項(xiàng)式；另一種方法是利用切比雪夫節(jié)點(diǎn)求出函數(shù)值后再使用正交多項(xiàng)式。這兩種方法都使正規(guī)方程 組的系數(shù)矩陣為對(duì)角矩陣，從而避免了正規(guī)方程組的病態(tài)。我們只介紹第一種，見第三節(jié)。例如 m=19,=328,h=1, =+ih，i=0,1,…，19，即節(jié)點(diǎn) 分布在［328,347］，作二次多項(xiàng)式擬合時(shí)① 直接用構(gòu)造正規(guī)方程組系數(shù)矩陣，計(jì)算可得嚴(yán)重病態(tài)，擬合結(jié)果完全不能用。② 作平移變換用構(gòu)造正規(guī)方程組系數(shù)矩陣，計(jì)算可得比降低了13個(gè)數(shù)量級(jí)，病態(tài)顯著改善，擬合效果較好。③ 取壓縮因子作壓縮變換用構(gòu)造正規(guī)方程組系數(shù)矩陣，計(jì)算可得又比降低了3個(gè)數(shù)量級(jí)，是良態(tài)的方程組，擬合效果十分理想。如有必要，在得到的擬合多項(xiàng)式中使用原來節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的變量x，可寫為 仍為一個(gè)關(guān)于x的n次多項(xiàng)式，正是我們要求的擬合多項(xiàng)式。
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