高次三角形單元有限元程序設(shè)計(jì)畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-22 17:21本頁面
【正文】 ），都有 Ｉ＋J+Ｋ＝１ （）形函數(shù)可以寫為 ?。ǎ矗梗┦街?， ?。ǎ矗保埃 ∈街?， 對于Ｎ階高次三角形節(jié)點(diǎn)形函數(shù)推導(dǎo) 對于n階高次三角形的任意節(jié)點(diǎn)其Ｐ坐標(biāo)為： For i=1:(n+1) For j=1:j End End ()式中，n表示階數(shù)，i表示行數(shù)，j表示列數(shù)，同時(shí)滿足楊輝三角的性質(zhì)如（圖3）。對于n階高次三角形非邊界節(jié)點(diǎn)數(shù)為，則有 （）根據(jù)（），（）式，可以推出每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)對于高次三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為， ， 為 所以同理可以證 ， 對于其它的非頂點(diǎn)的形函數(shù)有 ()5 梁單元的基本力學(xué)假設(shè)與實(shí)例 梁單元的基本力學(xué)假設(shè)梁單元是桿系結(jié)構(gòu)中的一種，但是它只有垂直于軸向的變形。梁受到橫向載荷的作用，包括橫向力和力矩。梁彎曲理論（包括工程梁理論和剪切梁理論）在彈性基本假定（連續(xù)性假設(shè)，均勻性假設(shè)，各向同性假設(shè)）的基礎(chǔ)上引入了某些假設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為中性軸位移，而梁內(nèi)任一點(diǎn)的位移以通過軸位移來表示。根據(jù)（圖4a）所示的平面梁。工程梁理論引入了兩個(gè)基本假設(shè)，即平截面假設(shè)和橫向纖維無擠壓假設(shè)。前者認(rèn)為梁的橫截面變形后任為平面，且垂直于變形后的中性軸（圖4b）。該假設(shè)意味著橫向剪切應(yīng)變；后者認(rèn)為梁的橫向纖維無擠壓，即 圖4 工程梁理論假設(shè) 梁單元實(shí)例對懸臂梁進(jìn)行受力分析和位移變化，而懸臂梁滿足平面梁的要求。如（圖5）所示，已知, v=,c=,L=10,P=10。 圖5 懸臂梁 首先對懸臂梁進(jìn)行網(wǎng)格劃分，我們一般采用四邊形單元，但是四邊形單元的計(jì)算程度比線性三角形單元復(fù)雜，然而 三角形單元的精度不高，所以在滿足計(jì)算和精度上面，我們選擇利用二階三角形單元進(jìn)行處理。那么，我們必須將懸臂梁進(jìn)行二階三角形劃分如（圖6）所示，使用單元數(shù)為20個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為63個(gè)。 圖6 網(wǎng)格劃分單元數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù) 因此我們要了解二階三角形的形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，剛度矩陣以及質(zhì)量矩陣。對于平面梁來說，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有2個(gè)自由度，即y方向的撓度v和xy平面內(nèi)繞z軸的轉(zhuǎn)角，按照二階三角形單元劃分懸臂梁使其總自由度數(shù)為126。對單元①來說，將梁的v和的轉(zhuǎn)化成二階三角形的面積坐標(biāo) 二階三角形單元的形函數(shù)1. 結(jié)構(gòu)離散化 將梁單元劃分為20個(gè)二階三角形單元，共63個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)，以懸臂梁左端為原點(diǎn)。 單元節(jié)點(diǎn)局部碼與整體碼的對應(yīng)關(guān)系（表1）單元號 1 2 …… 20局部碼123456123456……123456整體編碼173452937658……6357616059622. 單元剛度矩陣對于單元①來說，單元位移函數(shù)為 （）其中形函數(shù)見式（）。將式（）代入平面問題的幾何方程，可求得單元的應(yīng)變 （）其中 （i=1,2,3,4,5,6） （）根據(jù)式（）,()，求導(dǎo)積分可以知道 () ()根據(jù)公式（） （ ）根據(jù)式（）可得 A= 單元剛度矩陣 （）式（）中的D為平面應(yīng)變矩陣，有 （）又因?yàn)槭剑ǎ┛梢酝瞥銎渲? 對于面積坐標(biāo)的冪函數(shù)積分根據(jù)Euler公式可得積分公式 （）所以單元①的剛度矩陣猶豫太復(fù)雜，不在這里寫出。經(jīng)過計(jì)算，其他單元的剛度矩陣與單元①的相同。不在證明。3整體剛度矩陣對于懸臂梁來說，有63個(gè)各節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有個(gè)自由度，共計(jì)126階矩陣，在后面程序中會提及，不在這里說明。4 應(yīng)力矩陣在節(jié)點(diǎn)3處收到外力P=100的情況下 KD=F20
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