某些非線(xiàn)性常微分方程的常數(shù)變易法畢業(yè)論文-資料下載頁(yè)
2025-06-22 15:26本頁(yè)面
【正文】 。證明:上式可變?yōu)? (a)在這里設(shè)是方程(1)中對(duì)應(yīng)的方程： (b)的一個(gè)不恒為零的解。令，則有代入方程可得化簡(jiǎn)可得：又因?yàn)槭欠匠讨袑?duì)應(yīng)的方程：的一個(gè)不恒為零的解。所以 代入化簡(jiǎn)所得的方程可得：令并代入上式可得： （c）在（c）中將當(dāng)做已知函數(shù)，對(duì)（c）進(jìn)行一階非線(xiàn)性常微分方程的常數(shù)變易法求解，即可得出z，z為關(guān)于的函數(shù)，再將代入即可得到，則即可得到結(jié)論。，以下推論均可用此方法退出,就不一一證明了。定理2 若且，則二階非線(xiàn)性微分方程 （3）的通積分為 （4）其中為任意常數(shù)。在定理2中令，則有下面的推論。推論2 若且，則二階非線(xiàn)性微分方程的通積分為其中為任意常數(shù)。定理3 若且，則二階非線(xiàn)性微分方程 （5）的通積分為 （6）其中為任意常數(shù)。在定理3中令，則有下面的推論。推論3 若且，則二階非線(xiàn)性微分方程的通積分為其中為任意常數(shù)。定理4 若為非零常數(shù)，則二階非線(xiàn)性微分方程 (7)的通積分為 (8)其中為任意常數(shù)。在定理4中令，則有下面的推論。推論4 若為非零常數(shù)，則二階非線(xiàn)性微分方程的通積分為。其中為任意常數(shù)。定理5 若為非零常數(shù)，則二階非線(xiàn)性微分方程 （9）的通積分為 （10）其中為任意常數(shù)。在定理5中令，則有下面的推論。推淪5 若為非零常數(shù)，則 二階非線(xiàn)性微分方程的通積分為，其中為任意常數(shù)。定理6 若，則二階非線(xiàn)性微分方程 （11）的通積分為 （12）其中為任意常數(shù)。在定理6中令時(shí)，則有下面的推論。推論6 若，則二階非線(xiàn)性微分方程的通解為其中為任意常數(shù)。 舉例：求解解：原式可化為：明顯可知是上面方程對(duì)應(yīng)的方程：的一個(gè)不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過(guò)一階非線(xiàn)性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理1得出。：求解解：原式可化為：明顯可知是上面方程對(duì)應(yīng)的方程：的一個(gè)不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過(guò)一階非線(xiàn)性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理2得出。：求解解：原式可化為： 明顯可知是上面方程對(duì)應(yīng)的方程：的一個(gè)不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則的通解為：設(shè)原方程的通解為代入原方程可得：可知其為可分離變量的常微分方程，所以可以用常數(shù)變異法來(lái)求解?？傻茫簞t化簡(jiǎn)并代入可得：可知可用常數(shù)變易法求解，求解可得：又則再將帶回到原方程即可得到，也可由定理3得出。：求解解：原式可化為： 明顯可知是上面方程對(duì)應(yīng)的方程：的一個(gè)不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過(guò)一階非線(xiàn)性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理4得出。：求解解：原式可化為： 明顯可知是上面方程對(duì)應(yīng)的方程：的一個(gè)不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過(guò)一階非線(xiàn)性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理5得出。：求解解：原式可化為： 明顯可知是上面方程對(duì)應(yīng)的方程：的一個(gè)不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過(guò)一階非線(xiàn)性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理6得出。結(jié) 論本文重點(diǎn)探討了一階和二階非線(xiàn)性常微分方程的常數(shù)變易法，即對(duì)兩類(lèi)方程進(jìn)行系統(tǒng)地分析、比較、歸納、總結(jié)。針對(duì)兩類(lèi)方程，本文分別給出八種和是四種解題方法，每一個(gè)方法都有自己的特點(diǎn)。在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，需根據(jù)各類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，適當(dāng)選擇相應(yīng)的解法可簡(jiǎn)化計(jì)算。然后指出我們做非線(xiàn)性常微分方程的方法可歸結(jié)為：線(xiàn)性化，可積化，降階化。通過(guò)這三種方法可將一階，二階非線(xiàn)性常微分方程求解出來(lái)，甚至更高階的非線(xiàn)性常微分方程求解得出，其中必不可少的一個(gè)方法就是常數(shù)變易法。致 謝在完成這次畢業(yè)論文的過(guò)程中，要非常感謝指導(dǎo)老師—鄧麗老師。在整個(gè)過(guò)程中，鄧?yán)蠋熃o予了我很大的幫助和支持。論文初期，老師給了我很多相關(guān)的資料和書(shū)籍，并指出了需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的主要章節(jié)。老師給我安排了合理的進(jìn)度，每周都不辭辛苦地從老校區(qū)趕到新校區(qū)答疑，總是能夠非常圓滿(mǎn)地解決我所遇到的困難。平時(shí)鄧?yán)蠋熯€專(zhuān)門(mén)抽時(shí)間打電話(huà)詢(xún)問(wèn)論文進(jìn)展情況，督促我抓緊時(shí)間按質(zhì)按量完成任務(wù)。論文初稿完成后，鄧?yán)蠋熯M(jìn)行了仔細(xì)地審閱，對(duì)一些基本格式和論文內(nèi)容的修改提出了很多寶貴意見(jiàn)。能夠順利完成這次畢業(yè)論文，離不開(kāi)鄧?yán)蠋煹拇罅χС趾蛶椭?。另外，在這期間，還不斷就一些基本知識(shí)及定理的證明請(qǐng)教同學(xué)，大家都熱情地與我一起討論，使得一些問(wèn)題得到了順利地解決，在此深表謝意。同時(shí)，對(duì)四年來(lái)辛勤培養(yǎng)和關(guān)心我們的數(shù)學(xué)系全體老師表示由衷地感謝，感謝在生活和學(xué)習(xí)上幫助過(guò)我的同學(xué)們，從他們的身上我學(xué)到了書(shū)本上永遠(yuǎn)學(xué)不到的東西，謝謝你們。參考文獻(xiàn)[1] 湯光榮等，求解的若干公式，長(zhǎng)沙電力學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1996，11（1），8386[2] 譚信民，一階非線(xiàn)性常微分的三種可積類(lèi)型，韶關(guān)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1996,17（4）,1319[3] 湯光榮，常微分方程專(zhuān)題研究，武漢華中理工大學(xué)出版社，1994[4] 王高雄，周之銘，朱思銘等，常微分方程[M],北京高等教育出版社，1983[5] 彭向陽(yáng)．二階二次微分方程的解[J]．長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，13(2)：l820[6] 周尚仁，權(quán)宏順．常微分方程習(xí)題集[M]．北京：人民教育出版社，1980．104l15[7] 湯光宋，原存德．高階非線(xiàn)性常微分方程組的可積類(lèi)型[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)。1995，16(9)：82l828[8] 李廣民，于力．一類(lèi)二階非線(xiàn)性微分方程的求積問(wèn)題．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用敦學(xué)，1996，12(1)：7377[9] 湯光宋．解兩類(lèi)大量線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易法．贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1987(2)：8l3[10] 上海師大數(shù)學(xué)系，中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海師院數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．上海：人民教育出版社．1978[11] 陳肖石，湯光榮，利用首次積分求解幾類(lèi)二階非線(xiàn)性常微分方程，西江大學(xué)學(xué)報(bào),2000年第二期[12] 劉久方，劉學(xué)生，常微分方程中常數(shù)變易法的推廣，大連大學(xué)學(xué)報(bào),2009年第六
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