全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法(有答案)-資料下載頁
2025-06-19 22:58本頁面
【正文】 ∴，∵，∴，為等邊三角形∴，∴（2）圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長DC至點(diǎn)K，使，連接BKKABCDEFMN圖 2則∴，∵，∴∴∴∴∴∴即圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45176。時,求AB及PD的長。(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.分析：（1）作輔助線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，在中，已知，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求PD長即為求的長，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長，進(jìn)而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；（2）將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，PD的最大值即為的最大值，故當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時．EPADCB解：（1）①如圖，作于點(diǎn)E∵中，∴∵∴在中，∴P′PACBDE②解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，∴，∴，∴；解法二：如圖，過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設(shè)DA的延長線交PB于G．GFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得（2）如圖所示，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),得到，PD的最大值，即為的最大值∵中，，且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)∴當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時，取得最大值（如圖）P′PACBDP′PACBD此時，即的最大值為6此時在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系．圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）．分析：（1）如果，因?yàn)?，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因?yàn)?，根?jù)HL定理，兩三角形全等。那么，三角形NCD中，，在三角形DNM中，，因此三角形DMN是個等邊三角形，因此，三角形AMN的周長，三角形ABC的周長，因此．（2）如果，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長AC至E，使，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，，因此兩三角形全等，那么，．三角形MDN和EDN中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因?yàn)?，因此．Q與L的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的。（3）我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（ASA）．那么，三角形MDN和NDH中，已知的條件有，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道，因?yàn)?，因此，因?yàn)?，那么，因此，這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件．三角形MDN和DNH就全等了．那么，三角形AMN的周長．因?yàn)?，因此三角形AMN的周長．解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系：；此時．圖 1NMADCB（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：如圖2，延長AC至E，使，連接DE∵，且∴又是等邊三角形E圖 2NMADCB∴在與中H圖 3NMADCB∴（SAS）∴，∴在與中∴（SAS）∴故的周長而等邊的周長∴（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長線上時，若，則（用x、L表示）．點(diǎn)評：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)題中沒有明顯的全等三角形時，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形。 25
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