全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法(有答案)-wenkub.com
2025-06-16 22:58 本頁面
【正文】 （3）我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（ASA）．那么，三角形MDN和NDH中，已知的條件有，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道，因?yàn)?，因此，因?yàn)椋敲?，因此，這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件．三角形MDN和DNH就全等了．那么，三角形AMN的周長．因?yàn)椋虼巳切蜛MN的周長．解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系：；此時．圖 1NMADCB（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：如圖2，延長AC至E，使，連接DE∵，且∴又是等邊三角形E圖 2NMADCB∴在與中H圖 3NMADCB∴（SAS）∴，∴在與中∴（SAS）∴故的周長而等邊的周長∴（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長線上時，若，則（用x、L表示）．點(diǎn)評：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)題中沒有明顯的全等三角形時，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形。時,求AB及PD的長。 DM=DE 又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC∠MDN=120176。=90176。由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90176。(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接BD，DCDG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC（HL）故有BE＝CF。AE=AF?！鰽BC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD，DC+AE =AC證明L(角平分線在三種添輔助線,計算數(shù)值法)∠B=60度,則∠BAC+∠BCA=120度。ABAC＞PBPC解：（補(bǔ)短法）延長AC至F，使AF＝AB，連PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性質(zhì)知PB－PC＝PF－PC CF＝AF－AC＝AB－AC應(yīng)用：分析：此題連接AC，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。從而∠BDP＝40176?！螦FE+∠BFE＝180176。(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系．圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）． 參考答案與提示一、倍長中線（線段）造全等例（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.解：延長AD至E使AE＝2AD，連BE，由三角形性質(zhì)知ABBE 2ADAB+BE 故AD的取值范圍是1AD4例如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍長中線,等腰三角形“三線合一”法)延長FD至G使FG＝2EF，連BG，EG,顯然BG＝FC，在△EFG
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