【正文】 )首先驗(yàn)證它是基解矩陣以表示的第一列 則故是方程的解如果以表示的第二列 我們有故也是方程的解從而是方程的解矩陣又故是的基解矩陣；b)由常數(shù)變易公式可知，方程滿足初始條件的解而試求，其中 滿足初始條件的解。解：由第7題可知的基解矩陣 則若方程滿足初始條件則有若則有試求下列方程的通解：a)解：易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為這時(shí)由公式得 通解為b)解：易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為 是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解c)解：易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程對(duì)應(yīng)的特征方程為故方程的一個(gè)基本解組為因?yàn)槭菍?duì)應(yīng)的齊線性方程的解故也是原方程的一個(gè)解故方程的通解為給定方程其中f(t)在上連續(xù)，試?yán)贸?shù)變易公式，證明：a)如果f(t)在上有界，則上面方程的每一個(gè)解在上有界；b)如果當(dāng)時(shí)，則上面方程的每一個(gè)解（當(dāng)時(shí)）。證明：a) 上有界 存在M0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解又對(duì)于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數(shù)使得從而故上面方程的每一個(gè)解在上有界b) 時(shí)，當(dāng)tN時(shí)由a)的結(jié)論故時(shí)，原命題成立 1給定方程組 （）這里A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設(shè)是（）的一個(gè)基解矩陣，n維向量函數(shù)F(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （**）的連續(xù)解。反之，（**）的連續(xù)解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（**）反之，若是（**）的解，則有兩邊對(duì)t求導(dǎo)：即（**）的解是（*）的解 假設(shè)A是nn矩陣，試證：a) 對(duì)任意常數(shù)、都有exp(A+A)=expAexpAb) 對(duì)任意整數(shù)k,都有(expA)=expkA (當(dāng)k是負(fù)整數(shù)時(shí)，規(guī)定(expA)＝[(expA)])證明：a) ∵（A）（A）＝（A）（A） ∴ exp(A+A)= expAexpAb) k0時(shí)，(expA)＝expAexpA……expA ＝exp（A+A+……+A） ＝expkA k0時(shí)，k0 (expA)＝[(expA)]=[exp(A)] = exp(A)exp(A)……exp(A) ＝exp[(A)(k)] ＝expkA 故k，都有(expA)=expkA 試證：如果是=Ax滿足初始條件＝的解，那么＝[expA(tt)]證明：由定理8可知＝Ф(t)Ф1(t0) ＋Ф(t) 又因?yàn)椐?t)= expAt , Ф1(t0)=( expAt0)1= exp(At0), f(s)=0,又因?yàn)榫仃?（At）（ At0）=（ At0）（At）所以 ＝[expA(tt)] 試計(jì)算下面矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量a） b）c） d） 解：a）det（E－A）==(－5)(+1)=0∴=5, =－1對(duì)應(yīng)于=5的特征向量u=, ()對(duì)應(yīng)于=－1的特征向量v=, ()b) det（E－A）=(+1)(+2)(－2)＝0∴＝－1，＝2，＝－2對(duì)應(yīng)于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ）對(duì)應(yīng)于＝2的特征向量u2＝， （ ）對(duì)應(yīng)于＝－2的特征向量u3＝， （ ）c）det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0 ∴＝－1（二重），＝3對(duì)應(yīng)于＝－1（二重）的特征向量u＝， （ 0 ）對(duì)應(yīng)于＝3的特征向量v＝, （ ）d) det（E－A）==(+3)(+1)(+2)=0 ∴＝－1，＝－2，＝－3 對(duì)應(yīng)于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ） 對(duì)應(yīng)于＝－2的特征向量u2＝， （ ） 對(duì)應(yīng)于＝－3的特征向量u3＝， （ ） 試求方程組=Ax的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算expAt，其中A為：a） b）c） d）解：a）det（E－A）=0得＝，＝－對(duì)應(yīng)于的特征向量為u＝， （ 0 ）對(duì)應(yīng)于的特征向量為v＝， （ ）∴u＝，v＝是對(duì)應(yīng)于，的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量Ф(t)=是一個(gè)基解矩陣 ExpAt=b) 由det（E－A）=0得＝5，＝－1解得u＝，v＝是對(duì)應(yīng)于，的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量則基解矩陣為Ф(t)＝Ф(0)＝ Ф－1(0)＝則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝ c） 由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1 解得基解矩陣Ф(t)＝Ф－1(0)＝ 則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－ 解得基解矩陣Ф(t)＝則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝試求方程組=Ax的基解矩陣，并求滿足初始條件 解：a）由第4題（b）知，基解矩陣為 所以 b）由第4題（d）知，基解矩陣為 Ф(t)＝ 所以c) 由3（c）可知，矩陣A的特征值為＝3，＝－1（二重） 對(duì)應(yīng)的特征向量為u1＝，u2＝ ∴＝＋ 解得 ＝ 求方程組=Ax＋f（t）的解：解：a）令=Ax的基解矩陣為Ф(t)解得Ф(t)＝， 則Ф－1(t)＝Ф－1(0)＝求得＝b）由det（E－A）=0得＝－1，＝－2，＝－3 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為v1，則 （E－A）v1=0，得v1＝ 取v1＝，同理可得v2 ＝，v3＝ 則Ф(t)＝從而解得c）令=Ax的基解矩陣為Ф(t)由det（E－A）=0得＝1，＝2解得對(duì)應(yīng)的基解矩陣為Ф(t)＝∴Ф－1(t)＝ 從而Ф－1(0)＝∴ 假設(shè)m不是矩陣A的特征值。試證非齊線性方程組 有一解形如 其中c，p是常數(shù)向量。 證：要證是否為解，就是能否確定常數(shù)向量p則p（mE－A）＝c由于m不是A的特征值故mE－A存在逆矩陣那么p＝c（mE－A）－1 這樣方程就有形如的解 給定方程組 a） 試證上面方程組等價(jià)于方程組u’=Au,其中u＝，A=b） 試求a）中的方程組的基解矩陣c） 試求原方程組滿足初始條件x1(0)=0, x1’(0)=1, x2(0)=0的解。 證：a）令 則方程組①化為即u’＝u’=Au ①反之，設(shè)x1=u1,x1’=u2,x2=u3 則方程組②化為 b）由det（E－A）=0得＝0，＝1，＝2由 得同理可求得u2和u3取則是一個(gè)基解矩陣c）令，則①化為等價(jià)的方程組①且初始條件變?yōu)槎跐M足此初始條件的解為： ③于是根據(jù)等價(jià)性，①滿足初始條件的解為③式 試用拉普拉斯變換法解第5題和第6題。證明：略。 求下列初值問題的解：解：a)根據(jù)方程解得＝ ， ＝－∴＝t＋，＝－t＋∵∴0＋＝1 ∴＝1 ∴＝t＋1∵∴－0＋＝0 ∴＝0 ∴＝－t綜上：＝t＋1 ＝－tb）對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，得 解得∴c）對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，得1 假設(shè)y＝是二階常系數(shù)線性微分方程初值問題 的解，試證是方程 的解，這里f（x）為已知連續(xù)函數(shù)。 證明：y＝ ∵y’＝∴ 1. 試求出下列方程的所有奇點(diǎn),并討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài) (1)解: 由得奇點(diǎn)(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)對(duì)于奇點(diǎn)(0,0), A= 由=0得=10,=1/20所以不穩(wěn)定 對(duì)于奇點(diǎn)(0,2),令X=x,Y=y2, 則A= 得=1, =1/2所以漸進(jìn)穩(wěn)定同理可知,對(duì)于奇點(diǎn)(1,0),駐定解漸進(jìn)穩(wěn)定 對(duì)于奇點(diǎn)(1/2,1/2),駐定解漸進(jìn)不穩(wěn)定(2) 解: 由 得奇點(diǎn)(0,0),(1,2),(2,1)對(duì)于奇點(diǎn)(0,0)可知不穩(wěn)定對(duì)于奇點(diǎn)(1,2)可知不穩(wěn)定對(duì)于奇點(diǎn)(2,1)可知漸進(jìn)穩(wěn)定(3) 解:由得奇點(diǎn)(0,0),(1/,0)對(duì)于奇點(diǎn)(0,0) 駐定解不穩(wěn)定對(duì)于奇點(diǎn)(1/,0) 得駐定解不穩(wěn)定(4) 解: 由得奇點(diǎn)(0,0),(1,1)對(duì)于奇點(diǎn)(0,0)得駐定解不穩(wěn)定對(duì)于奇點(diǎn)(1,1)得駐定漸進(jìn)穩(wěn)定2. 研究下列紡車零解的穩(wěn)定性(1) 解:=10,=50,=600 =10 所以零解漸進(jìn)穩(wěn)定(2)解:A= 由=0得 得=, =i) +1/20 即1/2,漸進(jìn)穩(wěn)定ii) +1/20 即1/2不穩(wěn)定iii) +1/2=0 即=1/2穩(wěn)定86