【正文】 )首先驗證它是基解矩陣以表示的第一列 則故是方程的解如果以表示的第二列 我們有故也是方程的解從而是方程的解矩陣又故是的基解矩陣；b)由常數(shù)變易公式可知，方程滿足初始條件的解而試求，其中 滿足初始條件的解。解：由第7題可知的基解矩陣 則若方程滿足初始條件則有若則有試求下列方程的通解：a)解：易知對應的齊線性方程的基本解組為這時由公式得 通解為b)解：易知對應的齊線性方程的基本解組為 是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解c)解：易知對應的齊線性方程對應的特征方程為故方程的一個基本解組為因為是對應的齊線性方程的解故也是原方程的一個解故方程的通解為給定方程其中f(t)在上連續(xù)，試利用常數(shù)變易公式，證明：a)如果f(t)在上有界，則上面方程的每一個解在上有界；b)如果當時，則上面方程的每一個解（當時）。證明：a) 上有界 存在M0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解又對于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數(shù)使得從而故上面方程的每一個解在上有界b) 時，當tN時由a)的結(jié)論故時，原命題成立 1給定方程組 （）這里A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設(shè)是（）的一個基解矩陣，n維向量函數(shù)F(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （**）的連續(xù)解。反之，（**）的連續(xù)解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（**）反之，若是（**）的解，則有兩邊對t求導：即（**）的解是（*）的解 假設(shè)A是nn矩陣，試證：a) 對任意常數(shù)、都有exp(A+A)=expAexpAb) 對任意整數(shù)k,都有(expA)=expkA (當k是負整數(shù)時，規(guī)定(expA)＝[(expA)])證明：a) ∵（A）（A）＝（A）（A） ∴ exp(A+A)= expAexpAb) k0時，(expA)＝expAexpA……expA ＝exp（A+A+……+A） ＝expkA k0時，k0 (expA)＝[(expA)]=[exp(A)] = exp(A)exp(A)……exp(A) ＝exp[(A)(k)] ＝expkA 故k，都有(expA)=expkA 試證：如果是=Ax滿足初始條件＝的解，那么＝[expA(tt)]證明：由定理8可知＝Ф(t)Ф1(t0) ＋Ф(t) 又因為Ф(t)= expAt , Ф1(t0)=( expAt0)1= exp(At0), f(s)=0,又因為矩陣 （At）（ At0）=（ At0）（At）所以 ＝[expA(tt)] 試計算下面矩陣的特征值及對應的特征向量a） b）c） d） 解：a）det（E－A）==(－5)(+1)=0∴=5, =－1對應于=5的特征向量u=, ()對應于=－1的特征向量v=, ()b) det（E－A）=(+1)(+2)(－2)＝0∴＝－1，＝2，＝－2對應于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ）對應于＝2的特征向量u2＝， （ ）對應于＝－2的特征向量u3＝， （ ）c）det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0 ∴＝－1（二重），＝3對應于＝－1（二重）的特征向量u＝， （ 0 ）對應于＝3的特征向量v＝, （ ）d) det（E－A）==(+3)(+1)(+2)=0 ∴＝－1，＝－2，＝－3 對應于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ） 對應于＝－2的特征向量u2＝， （ ） 對應于＝－3的特征向量u3＝， （ ） 試求方程組=Ax的一個基解矩陣，并計算expAt，其中A為：a） b）c） d）解：a）det（E－A）=0得＝，＝－對應于的特征向量為u＝， （ 0 ）對應于的特征向量為v＝， （ ）∴u＝，v＝是對應于，的兩個線性無關(guān)的特征向量Ф(t)=是一個基解矩陣 ExpAt=b) 由det（E－A）=0得＝5，＝－1解得u＝，v＝是對應于，的兩個線性無關(guān)的特征向量則基解矩陣為Ф(t)＝Ф(0)＝ Ф－1(0)＝則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝ c） 由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1 解得基解矩陣Ф(t)＝Ф－1(0)＝ 則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－ 解得基解矩陣Ф(t)＝則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝試求方程組=Ax的基解矩陣，并求滿足初始條件 解：a）由第4題（b）知，基解矩陣為 所以 b）由第4題（d）知，基解矩陣為 Ф(t)＝ 所以c) 由3（c）可知，矩陣A的特征值為＝3，＝－1（二重） 對應的特征向量為u1＝，u2＝ ∴＝＋ 解得 ＝ 求方程組=Ax＋f（t）的解：解：a）令=Ax的基解矩陣為Ф(t)解得Ф(t)＝， 則Ф－1(t)＝Ф－1(0)＝求得＝b）由det（E－A）=0得＝－1，＝－2，＝－3 設(shè)對應的特征向量為v1，則 （E－A）v1=0，得v1＝ 取v1＝，同理可得v2 ＝，v3＝ 則Ф(t)＝從而解得c）令=Ax的基解矩陣為Ф(t)由det（E－A）=0得＝1，＝2解得對應的基解矩陣為Ф(t)＝∴Ф－1(t)＝ 從而Ф－1(0)＝∴ 假設(shè)m不是矩陣A的特征值。試證非齊線性方程組 有一解形如 其中c，p是常數(shù)向量。 證：要證是否為解，就是能否確定常數(shù)向量p則p（mE－A）＝c由于m不是A的特征值故mE－A存在逆矩陣那么p＝c（mE－A）－1 這樣方程就有形如的解 給定方程組 a） 試證上面方程組等價于方程組u’=Au,其中u＝，A=b） 試求a）中的方程組的基解矩陣c） 試求原方程組滿足初始條件x1(0)=0, x1’(0)=1, x2(0)=0的解。 證：a）令 則方程組①化為即u’＝u’=Au ①反之，設(shè)x1=u1,x1’=u2,x2=u3 則方程組②化為 b）由det（E－A）=0得＝0，＝1，＝2由 得同理可求得u2和u3取則是一個基解矩陣c）令，則①化為等價的方程組①且初始條件變?yōu)槎跐M足此初始條件的解為： ③于是根據(jù)等價性，①滿足初始條件的解為③式 試用拉普拉斯變換法解第5題和第6題。證明：略。 求下列初值問題的解：解：a)根據(jù)方程解得＝ ， ＝－∴＝t＋，＝－t＋∵∴0＋＝1 ∴＝1 ∴＝t＋1∵∴－0＋＝0 ∴＝0 ∴＝－t綜上：＝t＋1 ＝－tb）對方程兩邊取拉普拉斯變換，得 解得∴c）對方程兩邊取拉普拉斯變換，得1 假設(shè)y＝是二階常系數(shù)線性微分方程初值問題 的解，試證是方程 的解，這里f（x）為已知連續(xù)函數(shù)。 證明：y＝ ∵y’＝∴ 1. 試求出下列方程的所有奇點,并討論相應的駐定解的穩(wěn)定性態(tài) (1)解: 由得奇點(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)對于奇點(0,0), A= 由=0得=10,=1/20所以不穩(wěn)定 對于奇點(0,2),令X=x,Y=y2, 則A= 得=1, =1/2所以漸進穩(wěn)定同理可知,對于奇點(1,0),駐定解漸進穩(wěn)定 對于奇點(1/2,1/2),駐定解漸進不穩(wěn)定(2) 解: 由 得奇點(0,0),(1,2),(2,1)對于奇點(0,0)可知不穩(wěn)定對于奇點(1,2)可知不穩(wěn)定對于奇點(2,1)可知漸進穩(wěn)定(3) 解:由得奇點(0,0),(1/,0)對于奇點(0,0) 駐定解不穩(wěn)定對于奇點(1/,0) 得駐定解不穩(wěn)定(4) 解: 由得奇點(0,0),(1,1)對于奇點(0,0)得駐定解不穩(wěn)定對于奇點(1,1)得駐定漸進穩(wěn)定2. 研究下列紡車零解的穩(wěn)定性(1) 解:=10,=50,=600 =10 所以零解漸進穩(wěn)定(2)解:A= 由=0得 得=, =i) +1/20 即1/2,漸進穩(wěn)定ii) +1/20 即1/2不穩(wěn)定iii) +1/2=0 即=1/2穩(wěn)定86