【正文】 ? ? ( 3)2xx?故 y和 x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為 y=5x+5(x≥ 4,且 x為整數(shù) ). 評析 可根據(jù)多邊形過同一個(gè)頂點(diǎn)的對角線的條數(shù)與分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系列方程求 解 . 多邊形有 n條邊 ,則經(jīng)過多邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線有 (n3)條 ,經(jīng)過多邊形同一個(gè)頂點(diǎn) 的所有對角線把多邊形分成 (n2)個(gè)三角形 . 8.(2022杭州西湖二模 )有一組鄰邊相等 ,且另外兩邊也相等的四邊形叫做箏形 ,如圖 1,四邊形 ABCD中 ,AD=DC,AB=BC,那么四邊形 ABCD叫做箏形 . (1)如圖 1,如果箏形 ABCD的周長是 18,AD=CD=3,那么 AB= 。 (2)在探索箏形的性質(zhì)時(shí) ,發(fā)現(xiàn)箏形有一組對角相等 ,如圖 1,箏形 ABCD中 ,AD=DC,AB=BC,那么 ∠ A=∠ C,請證明這個(gè)結(jié)論 。 (3)如圖 2,箏形 ABCD中 ,若 AD=DC=? ,∠ ADC=90176。,∠ DAB=105176。,求箏形 ABCD的面積 . ? 2解析 (1)∵ 四邊形 ABCD為箏形 ,∴ AB=BC, ∵ 箏形 ABCD的周長是 18,AD=CD=3,∴ AB=? =6.? (2分 ) (2)證明 :如圖① ,連接 AC, ∵ AD=DC,∴∠ DAC=∠ DCA, ∵ AB=BC,∴∠ BAC=∠ BCA, ∵∠ DAB=∠ DAC+∠ BAC, ∠ DCB=∠ DCA+∠ BCA, ∴∠ DAB=∠ DCB,? (4分 ) 即 ∠ DAC=∠ DCB.? (5分 ) 18 2 32??? (3)如圖② ,設(shè) AC交 BD于點(diǎn) O, ∵∠ ADC=90176。,AD=CD=? , ∴ AC=? =2, ∵ 四邊形 ABCD為箏形 , ∴∠ DAB=∠ DCB=105176。. ∵ △ ADC是等腰直角三角形 , ∴∠ DAC=∠ DCA=45176。, 222AD CD?∴∠ BAC=∠ BCA=60176。, ∴ △ ABC是等邊三角形 , ∵ AD=CD,AB=BC, ∴ BD在線段 AC的垂直平分線上 , ∴ BD⊥ AC, ∴ AO=CO=1, ∴ tan∠ BAC=? , ∴ BO=1tan 60176。=? , ∴ S箏形 ABCD=S△ ADC+S△ ABC=? ADCD+? ACOB=? ? ? +? 2? =1+? . 故箏形 ABCD的面積為 1+? . BOAO312 12 122 2123 33評析 (1)根據(jù)四邊形周長為四邊之和 ,可得 AB的長 . (2)連接 AC,根據(jù)等邊對等角證明 . (3)箏形 ABCD的面積等于兩個(gè)三角形面積的和 ,并說明 OB是 AC邊上的高 . 1.(2022紹興一模 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,已知點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1,2),將點(diǎn) A向右平移 3個(gè)單位長度得 到點(diǎn) B,點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 C,若四邊形 ABCD為平行四邊形 ,則點(diǎn) D的坐標(biāo)為 . 考點(diǎn)二 平行四邊形 答案 (4,2) 解析 點(diǎn) A(1,2)向右平移 3個(gè)單位長度得點(diǎn) B(4,2), 點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 C(1,2), 根據(jù)平行四邊形的中心對稱性知 ,點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (4,2) 2.(2022濱江二模 ,16)?ABCD中 ,CD=2,BC=4,BD=2? ,對角線 AC,BD交于點(diǎn) O,將△ CDO繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,使點(diǎn) D落在 AD上的 D39。處 ,點(diǎn) C落在 C39。處 ,C39。O交 AD于點(diǎn) P,則△ OPD39。的面積是 . ? 3答案 ? 33解析 過點(diǎn) P作 PH垂直 OD39。于點(diǎn) PH=x. ? 在△ CDB中 ,∵ CD=2,BC=4,BD=2? , ∴ CD2+DB2=BC2,∴∠ CDB=90176。,∠ DBC=30176。,在 ?ABCD中 ,AD∥ BC, ∴∠ BDA=∠ DBC=30176。. 又 ∵ DO=OD39。, ∴∠ OAD=∠ ODA=30176。,∴ PD39。=2x, 易得△ PHO∽ △ C39。D39。O, ∴ ? =? , 339。39。PHCD 39。OHOD即 ? =? , 解得 x=? , ∴ S△ OPD39。=? OD39。PH=? ? ? =? . 2x333 x?2312 12323 333.(2022杭州五區(qū)聯(lián)考二模 )在平行四邊形 ABCD中 ,E為 AB上的一點(diǎn) ,連接 CE,P為 CE的中點(diǎn) ,過 P 作直線 MN分別交邊 AD,BC于點(diǎn) M, EA∶ EB=5∶ 4,則 PM∶ PN= . 答案 7∶ 2 解析 如圖所示 ,過 P作 PH∥ AB,過 M作 MF∥ AB交 BC于 F,則 MF=AB. ? ∵ P是 EC的中點(diǎn) ,∴ H是 BC的中點(diǎn) , ∴ PH?? ? BE. 設(shè) AE=5a,則 BE=4a,∴ PH=2a. 又 ∵ PH∥ AB∥ MF,∴ ? =? ,即 ? =? =? =? , ∴ MP∶ PN=7∶ 2. 12PHMFPNMN PHAB PNMN 254aaa? 291.(2022寧波一模 )已知四邊形 ABCD中 ,AB∥ CD,則下列命題正確的是 ? ( ) BC=AD,則四邊形 ABCD是平行四邊形 ∠ ABC=90176。,且 AC=BD,則四邊形 ABCD是矩形 AC⊥ BD,則四邊形 ABCD是菱形 AB=CD且 AC⊥ BD,則四邊形 ABCD是正方形 考點(diǎn)三 平行四邊形的判定 答案 B BC=AD,則四邊形 ABCD可能為等腰梯形 。 。 AC⊥ BD,則四邊形 ABCD 可能為等腰梯形 。 AB=CD且 AC⊥ BD,則四邊形 ABCD為菱形 ,不一定為正方形 . 2.(2022義烏模擬 ,12)如圖 ,?ABCD的對角線 BD上有兩點(diǎn) E、 F,請你添加一個(gè)條件 ,使四邊形 AECF是平行四邊形 ,你添加的條件是 . 答案 BE=DF(或 AE∥ CF或 AF∥ EC) 解析 可添加條件 BE=DF或 AE∥ CF或 AF∥ EC,以下只證明添加 BE=DF的情況 . 證明 :連接 AC,交 BD于點(diǎn) O,如圖所示 . ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ OA=OC,OB=OD, ∵ BE=DF, ∴ OBBE=ODDF,即 OE=OF, ∵ OA=OC, ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 . 3.(2022杭州二模 ,18)已知 :線段 a,b,∠ α(如圖 ),用直尺和圓規(guī)作一個(gè)平行四邊形 ,使它的兩條對 角線長分別等于線段 a、 b的長 ,且兩條對角線所成的一個(gè)角等于 ∠ α. ? 解析 按以下步驟作圖 :(1)畫出線段 a,b的中垂線 。 (2)畫出一個(gè)角等于已知角 α。 (3)在所畫角的兩邊上取線段 ,使長分別等于 ,。 (4)利用對角線互相平分的性質(zhì)畫出平行四邊形 . 1.(2022杭州蕭山二模 ,5)已知一個(gè)正 n邊形的一個(gè)內(nèi)角是它外角的 5倍 ,則 n等于 ? ( ) B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :30分鐘 分值 :40分 ) 一、選擇題（共 3分） 答案 C 設(shè)這個(gè)正 n邊形的一個(gè)外角為 x176。,則其內(nèi)角為 (180x)176。,∵ 此正 n邊形的一個(gè)內(nèi)角是它 的外角的 5倍 , ∴ 180x=5x,解得 x=30, ∴ n=? =12. 故選 C. 36030??2.(2022杭州錦繡中學(xué)一模 ,12)如圖 ,在 ?ABCD中 ,AD=8,AB=6,DE平分 ∠ ADC交 BC于 E,則 BE= . ? 二、填空題（共 3分） 答案 2 解析 ∵ DE平分 ∠ ADC,∴∠ ADE=∠ CDE, ∵ 在 ?ABCD中 ,AD∥ BC,∴∠ ADE=∠ CED, ∴∠ CDE=∠ CED,∴ CE=CD, ∵ 在 ?ABCD中 ,AB=6,AD=8, ∴ CD=AB=6,BC=AD=8, ∴ BE=BCCE=86=2. 3.(2022金華永康模擬 ,21)如圖所示 ,在 ?ABCD中 ,對角線 AC與 BD交于點(diǎn) O,過點(diǎn) O作一條直線 分別交 AB,CD于點(diǎn) E,F. (1)求證 :OE=OF。 (2)若 AB=6,BC=5,OE=2,求四邊形 BCFE的周長 . 三、解答題（共 34分） 解析 (1)證明 :在 ?ABCD中 ,AC與 BD交于點(diǎn) O, ∴ OA=OC,AB∥ CD, ∴∠ OAE=∠ OCF, 在△ OAE和△ OCF中 ,? ∴ △ OAE≌ △ OCF(ASA), ∴ OE=OF. (2)∵ △ OAE≌ △ OCF, ∴ CF=AE, ∴ BE+CF=AB=6, 又 ∵ EF=2OE=4, ∴ 四邊形 BCFE的周長 =BE+BC+CF+EF=6+4+5=15. ,O A E O C FO A O CA O E C O F? ? ?????? ? ? ??4.(2022杭州江干一模 ,18)如圖 ,四邊形 ABCD為平行四邊形 ,將△ ABC沿 AC折疊 ,使點(diǎn) B落在 B39。 處 ,AB39。和 CD相交于點(diǎn) :OD=OB39。. ? 證明 ∵ △ AB39。C由△ ABC沿 AC折疊得到 , ∴∠ BAC=∠ B39。AC,AB=AB39。. ∵ 在平行四邊形 ABCD中 ,AB∥ CD, ∴∠ BAC=∠ DCA,∴∠ DCA=∠ B39。AC,∴ OA=OC. 又 CD=AB,∴ OD=CDOC=ABOA=AB39。OA=OB39。. 解題關(guān)鍵 證明 OA=OC是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022寧波海曙模擬 ,20)已知 EF∥ MN,直線 AC交 EF、 MN于點(diǎn) A、 C,作 ∠ ACN的平分線交 EF 于點(diǎn) B,作 ∠ CAE的平分線交 MN于點(diǎn) D. (1)求證 :四邊形 ABCD為平行四邊形 。 (2)若四邊形 ABCD為菱形 ,求 ∠ ABC的度數(shù) . 解析 (1)證明 :∵ EF∥ MN, ∴∠ ACN=∠ EAC, ∵ CB平分 ∠ ACN,AD平分 ∠ EAC, ∴∠ ACB=? ∠ ACN,∠ DAC=? ∠ EAC, ∴∠ ACB=∠ DAC, ∴ AD∥ BC,又 DC∥ AB, ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 . (2)∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴∠ DAC=∠ CAB, ∵∠ EAD=∠ DAC, ∴∠ DAC=∠ EAD=∠ CAB=? 180176。=60176。, ∵ AD∥ BC, ∴∠ ABC=∠ DAE=60176。. 12 1213