【正文】 MF∥ PD, ∴ △ EMF∽ △ EDP. ∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ t=? . MFDP EFEP 226t ? 2392第二種情況 :如圖 ,當(dāng)點(diǎn) N在 CE邊上時(shí) , ∵ NF∥ OC, ∴ △ EFN∽ △ EOC, ∴ ? =? ,即 ? =? , FNOCEFEO 126t ? 23 t?∴ t=5. ② ? S≤ ? 或 ? S≤ 20. 提示 : 當(dāng) 1≤ t? 時(shí) ,S=t(62t)=2? +? , ∵ t=? 在 1≤ t? 范圍內(nèi) ,∴ ? S≤ ? . 當(dāng) ? t≤ 5時(shí) ,S=t(2t6)=2? ? , ∴ ? S≤ 20. 278 9227294232t???????9232 94 278 9292232t???????92272關(guān)鍵提示 本題主要考查了平行四邊形的知識(shí) ,解題的關(guān)鍵是分幾種不同的情況討論 . 1.(2022杭州濱口二模 )下列多邊形中 ,內(nèi)角和是外角和的兩倍的是 ? ( ) 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 (2)當(dāng)點(diǎn) C在線段 OB上時(shí) ,求證 :四邊形 ADEC為平行四邊形 。. ∴ ?ACED是菱形 . ∵ AB=AE,AB=CD,∴ AE=CD. ∴ 菱形 ACED是正方形 .? (8分 ) 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,24,8分 )如圖 1,?ABCD中 ,點(diǎn) O是對(duì)角線 AC的中點(diǎn) ,EF過點(diǎn) O,與 AD,BC分 別相交于點(diǎn) E,F,GH過點(diǎn) O,與 AB,CD分別相交于點(diǎn) G,H,連接 EG,FG,FH,EH. (1)求證 :四邊形 EGFH是平行四邊形 。,∴ AB=AE,∠ BAE=90176。時(shí) ,四邊形 ACED是正方形 ?請(qǐng)說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC. ∴∠ D=∠ OCE,∠ DAO=∠ E. 又 ∵ OC=OD,∴ △ AOD≌ △ EOC.? (4分 ) (2)當(dāng) ∠ B=∠ AEB=45176。DE. BDCD DECE4.(2022山東青島 ,21,8分 )已知 :如圖 ,?ABCD中 ,O是 CD的中點(diǎn) ,連接 AO并延長 ,交 BC的延長線 于點(diǎn) E. (1)求證 :△ AOD≌ △ EOC。, ∴∠ CDE=∠ CEO. ∵∠ OBE=∠ OEB,∴∠ OBE=∠ CDE. ∵∠ BED=∠ DEC,∴ △ DBE∽ △ CDE. ∴ ? =? . ∴ BD,即 DE⊥ BE. (2)∵ OE⊥ CD,∴∠ CDE+∠ DEO=90176。DE. ? 證明 (1)∵ OE=OB,∴∠ OBE=∠ OEB. ∵ 平行四邊形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) O, ∴ OB=OD. ∴ OE=OD.∴∠ ODE=∠ OED. 在△ BDE中 ,∵∠ OBE+∠ OEB+∠ OED+∠ ODE=180176。 (2)如果 OE⊥ CD,求證 :BD時(shí) ,EB=DE, ∴ 當(dāng) ∠ DOE=90176。 (2)當(dāng) ∠ DOE等于多少度時(shí) ,四邊形 BFDE為菱形 ?請(qǐng)說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 在 ?ABCD中 ,O為對(duì)角線 BD的中點(diǎn) , ∴ BO=DO,∠ EDO=∠ FBO, ∵ 在△ EOD和△ FOB中 , ? ∴ △ DOE≌ △ BOF(ASA). (2)當(dāng) ∠ DOE=90176。, 所以△ MAO≌ △ MO=GO. 又 ∠ MOG=60176。, 又 ∠ FOA=60176。, 所以 ∠ MON=∠ AOE∠ MOA+∠ NOE=120176。 (3)如圖 3,點(diǎn) O是 AD的中點(diǎn) ,OG平分 ∠ MON,判斷四邊形 OMGN是不是特殊四邊形 ,并說明理由 . ? 圖 1 圖 2 圖 3 解析 (1)① 60.? (2分 ) ② 證明 :如圖 1,連接 BE交 MP于 H點(diǎn) . 在正六邊形 ABCDEF中 ,PN∥ CD,又 BE∥ CD∥ AF,所以 BE∥ PN∥ AF. 又 PM∥ AB,所以四邊形 AMHB、四邊形 HENP為平行四邊形 ,△ BPH為等邊三角形 . 所以 PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.? (5分 ) ? 圖 1 (2)證明 :如圖 2,連接 BE,由 (1)知 AM=EN. 又 AO=EO,∠ MAO=∠ NEO=60176。 ② 求證 :PM+PN=3a。(x2)=900176。 證明 : (3)用文字?jǐn)⑹鏊C命題的逆命題為 . 解析 (1)CD.? (1分 ) 平行 .? (2分 ) (2)證明 :連接 BD.? (3分 ) ? 在△ ABD和△ CDB中 , ∵ AB=CD,AD=CB,BD=DB, ∴ △ ABD≌ △ CDB.? (5分 ) ∴∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4, ∴ AB∥ CD,AD∥ CB.? (7分 ) ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 .? (8分 ) (3)平行四邊形的對(duì)邊相等 .? (10分 ) 1.(2022廣東 ,5,3分 )一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 900176。 如圖 2,其中 AE=CF, 但顯然四邊形 AECF不是平行四邊形 .故 B符合題意 . ? ? 圖 1 圖 2 思路分析 依據(jù)平行四邊形的定義或判定定理進(jìn)行判斷 . 2.(2022江蘇連云港 ,5,3分 )已知四邊形 ABCD,下列說法正確的是 ? ( ) AD=BC,AB∥ DC時(shí) ,四邊形 ABCD是平行四邊形 AD=BC,AB=DC時(shí) ,四邊形 ABCD是平行四邊形 AC=BD,AC平分 BD時(shí) ,四邊形 ABCD是矩形 AC=BD,AC⊥ BD時(shí) ,四邊形 ABCD是正方形 答案 B 判斷四個(gè)說法的對(duì)錯(cuò)時(shí) ,可畫出圖形 ,根據(jù)圖形作出判斷 .兩組對(duì)邊分別相等的四邊 形是平行四邊形 ,選項(xiàng) B正確 ,故選 B. 3.(2022河北 ,22,10分 )嘉淇同學(xué)要證明命題“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是 正確的 ,她先用尺規(guī)作出了如圖的四邊形 ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證 . 已知 :如圖 ,在四邊形 ABCD中 , BC=AD, AB= . 求證 :四邊形 ABCD是 四邊形 . (1)在方框中填空 ,以補(bǔ)全已知和求證 。 當(dāng) AF∥ CE時(shí) ,如圖 1, 則 ∠ AFE=∠ CEF,從而 ∠ AFD=∠ CEB, 又因?yàn)?∠ ADF=∠ CBE,AD=BC, 所以△ AFD≌ △ CEB,則 AF=CE, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 C不符合題意 。. 1.(2022河南 ,7,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,用直尺和圓規(guī)作 ∠ BAD的平分線 AG交 BC于點(diǎn) BF= 6,AB=5,則 AE的長為 ? ( ) ? 考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì) 答案 C 設(shè) AE與 BF交于點(diǎn) AF=AB,∠ BAE=∠ FAE,∴ AE⊥ BF,OB=? BF=3,在 Rt△ AOB中 ,AO=? =4. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC,∴∠ FAE=∠ BEA, ∴∠ BAE=∠ BEA,∴ AB=BE,∴ AE=2AO= C. 122253?2.(2022天津 ,8,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,點(diǎn) E是邊 AD的中點(diǎn) ,EC交對(duì)角線 BD于點(diǎn) F,則 EF∶ FC等 于 ? ( ) ? ∶ 2 ∶ 1 ∶ 1 ∶ 2 答案 D 平行四邊形 ABCD中 ,AD∥ BC且 AD=BC,因?yàn)?E為 AD的中點(diǎn) ,所以 DE=? AD=? BC,因 為 AD∥ BC,所以△ DEF∽ △ BCF,所以 EF∶ FC=DE∶ BC=1∶ 2,故選 D. 12 123.(2022陜西 ,14,3分 )如圖 ,點(diǎn) O是 ?ABCD的對(duì)稱中心 ,ADAB,E、 F是 AB邊上的點(diǎn) ,且 EF=? AB。,∴ (n2)180=630,解得 n=? . ∵ n為整數(shù) ,∴ θ不能取 630176。,用列方程的方法確定 x. 解析 (1)甲對(duì) ,乙不對(duì) .? (2分 ) ∵ θ=360176。若不對(duì) , 說明理由 。而乙同學(xué)說 ,θ也能取 630176。)是一個(gè)圓錐的側(cè)面 ,則這個(gè)圓 錐底面圓的半徑等于 . ? 解析 (1)如圖 ,正八邊形 ABCDEFGH即為所求 . ? (4分 ) (2)? .? (6分 ) 1583.(2022河北 ,22,9分 )已知 n邊形的內(nèi)角和 θ=(n2)180176。在第六次旋轉(zhuǎn)過程中 ,點(diǎn) M位置不變 ,BM= 6次旋轉(zhuǎn)的過程中 , 點(diǎn) B,M間的距離可能是 ,故選 C. 3 23 2 33解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是求出每個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中 BM長的變化范圍 . 2.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,23,6分 )圖 1是我們常見的地磚上的圖案 ,其中包含了一種特殊的平面圖形 — — 正八邊形 . (1)如圖 2,AE是☉ O的直徑 ,用直尺和圓規(guī)作☉ O的內(nèi)接正八邊形 ABCDEFGH(不寫作法 ,保留作 圖痕跡 )。在第四次旋轉(zhuǎn)過程中 ,點(diǎn) M在以點(diǎn) E為圓心 ,? 為半徑 的圓弧上 ,BM的長由 ? 1逐漸變小為 2? ,然后逐漸變大為 ? 1。在第二次旋轉(zhuǎn)過程中 ,點(diǎn) M位置不變 ,BM=1。再繞點(diǎn) C順 時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,使 MN邊與 CD邊重合 ,完成第二次旋轉(zhuǎn) 。. ? 解析 (1)畫法不唯一 ,如圖① ,② ,③ 等 . ? (2)畫法不唯一 ,如圖④ ,⑤ ,⑥ 等 . ? 5.(2022嘉興 ,22,12分 )如圖 1,已知點(diǎn) E、 F、 G、 H分別是四邊形 ABCD的邊 AB、 BC、 CD、 DA 的中點(diǎn) ,根據(jù)以下思路可以證明四邊形 EFGH是平行四邊形 . ? → EH FG→ 四邊形 EFGH是平行四邊形 ? (1)如圖 2,將圖 1中的點(diǎn) C移動(dòng)至與點(diǎn) E重合的位置 ,F、 G、 H仍是 BC、 CD、 DA的中點(diǎn) ,求證 :四 邊形 CFGH是平行四邊形 。 (2)在圖乙中畫出一個(gè)四邊形 ABCD,使 ∠ D=90176。 (3)如圖 3,延長 BD交 AC于點(diǎn) H,若 BH⊥ AC,且 BH= FH=? ,DM=4時(shí)