【正文】 ,PD最短 ,此時 PD=2. ? ∵ 2? 22,∴ PD的最小值是 2? 2. 3 3評析 本題考查了菱形、等腰三角形的性質(zhì)、圓、中垂線 ,運用了分類討論思想 ,綜合性較強 , 屬于難題 . 6.(2022江蘇南京 ,16,2分 )如圖 ,菱形 ABCD的面積為 120 cm2,正方形 AECF的面積為 50 cm2,則菱 形的邊長為 cm. ? 答案 13 解析 連接 BE,EF,FD,AC, ∵ 菱形、正方形為軸對稱圖形 ,對角線所在直線是其對稱軸 , ∴ B,E,F,D在同一條直線上 , ∵ S正方形 AECF=? ACEF=? AC2=50 cm2, ∴ AC=10 cm, ∵ S菱形 ABCD=? ACBD=120 cm2,∴ BD=24 cm. 設 AC,BD的交點為 O,由菱形的性質(zhì)可得 AC⊥ BD,AO=5 cm,OB=12 cm,∴ AB=? = ? =13 cm. 12 121222OA OB?225 12?評析 本題考查了四邊形的綜合問題 ,熟悉正方形和菱形的性質(zhì) ,會用勾股定理求線段的長度 是解題的關鍵 ,屬中檔題 . 7.(2022浙江溫州 ,16,5分 )圖甲是小明設計的帶菱形圖案的花邊作品 .該作品由形如圖乙的矩形 圖案拼接而成 (不重疊、無縫隙 ).圖乙中 ,? =? ,EF=4 cm,上下兩個陰影三角形的面積之和為 54 cm2,其內(nèi)部菱形由兩組距離相等的平行線交叉得到 ,則該菱形的周長為 cm. ? ABBC 67答案 ? 503解析 如圖 ,連接 MN、 PQ,設 MN=2x cm,PQ=2y cm, ? ∵ ? =? ,∴ 可設 AB=6k cm(k0),則 BC=7k cm. ∵ 上下兩個陰影三角形的面積之和為 54 cm2, ∴ 2? 3 k+54=6k7 k,即 (2x+7k)3k+54=42k2.① 易知四邊形 DENM、四邊形 AFMN是平行四邊形 , ∴ DE=AF=MN=2x cm. ∵ EF=4 cm,∴ 4x+4=7k,即 2x=? .② 將②代入①得 ,? 3 k+54=42k2, 化簡得 7k2+4k36=0. ABBC 67272xk?742k ?7472k k????????解得 k1=2,k2=? (舍去 ). ∴ AB=12 cm,BC=14 cm,MN=5 cm,∴ x=? . 易證△ MCD∽ △ MPQ, ∴ ? =? ,解得 y=? . ∴ PM=? =? =? (cm). ∴ 菱形 MPNQ的周長為 4? =? (cm). 18752122 y1 4 5252? 10322xy? 2 5 1 0 049? 256256 503評析 本題主要考查平行四邊形、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì) . 8.(2022四川成都 ,24,4分 )如圖 ,在邊長為 2的菱形 ABCD中 ,∠ A=60176。,M是 AD邊的中點 ,N是 AB邊 上一動點 ,將△ AMN沿 MN所在直線翻折得到△ A39。MN,連接 A39。C,則 A39。C長度的最小值是 . ? 答案 ? 1 7解析 過點 M作 MF⊥ CD交 CD的延長線于 F. 由題意可知 MA、 MA39。是定值 ,A39。C的長度最小時 ,A39。在 MC上 (如圖 ). ? ∵ 菱形 ABCD的邊長為 2,∠ A=60176。,M是 AD的中點 , ∴ MD=MA=1,∠ MDF=60176。. ∴ MF=MDsin 60176。=? ,DF=MDcos 60176。=? . ∴ CF=CD+DF=? . 在 Rt△ MFC中 ,由勾股定理得 MC=? =? . ∵ △ AMN沿 MN所在直線翻折得到△ A39。MN, ∴ MA39。=MA=1. 32 125222MF CF? 7∴ A39。C=MCMA39。=? ? 1. 7 7評析 本題是一道以菱形為依托的動點探究問題 ,主要考查菱形、軸對稱 (翻折 )、銳角三角 函數(shù)、勾股定理等知識的綜合應用 .根據(jù)已知分析確定點 A39。的位置是本題的解題關鍵 . 9.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,已知 A、 F、 C、 D四點在同一條直線上 ,AF=CD,AB∥ DE,且 AB=DE. (1)求證 :△ ABC≌ △ DEF。 (2)若 EF=3,DE=4,∠ DEF=90176。,請直接寫出使四邊形 EFBC為菱形時 AF的長度 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB∥ DE,∴∠ A=∠ D, ∵ AF=CD,∴ AF+FC=CD+FC,即 AC=DF, 又 ∵ AB=DE,∴ △ ABC≌ △ DEF. (2)? (過點 E作 EO⊥ CF于 O,由 EF=3,ED=4,∠ DEF=90176。,可得 DF=5,所以 EO=,又四邊形 EFBC 為菱形 ,所以 FO=CO=,所以 AF=CD==). 7510.(2022北京 ,21,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB∥ DC,AB=AD,對角線 AC,BD交于點 O,AC平分 ∠ BAD,過點 C作 CE⊥ AB交 AB的延長線于點 E,連接 OE. (1)求證 :四邊形 ABCD是菱形 。 (2)若 AB=? ,BD=2,求 OE的長 . 5解析 (1)證明 :∵ AB∥ CD, ∴∠ OAB=∠ DCA. ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAB=∠ DAC, ∴∠ DCA=∠ DAC, ∴ CD=AD. 又 ∵ AB=AD,∴ AB=CD,∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形 . 又 ∵ CD=AD=AB,∴ 四邊形 ABCD為菱形 . (2)∵ 四邊形 ABCD為菱形 , ∴ OA=OC,BD⊥ AC. ∵ CE⊥ AE,∴ OE=AO=OC. ∵ BD=2,∴ OB=? BD=1. 在 Rt△ AOB中 ,AB=? ,OB=1, ∴ OA=? =2,∴ OE=2. 12522AB OB?11.(2022湖北黃岡 ,24,14分 )如圖 ,在直角坐標系 xOy中 ,菱形 OABC的邊 OA在 x軸正半軸上 ,點 B,C 在第一象限 ,∠ C=120176。,邊長 OA= M從原點 O出發(fā)沿 x軸正半軸以每秒 1個單位長的速度做勻 速運動 ,點 N從 A出發(fā)沿邊 AB→ BC→ CO以每秒 2個單位長的速度做勻速運動 .過點 M作直線 MP 垂直于 x軸并交折線 OCB于 P,交對角線 OB于 Q,點 M和點 N同時出發(fā) ,分別沿各自路線運動 ,點 N 運動到原點 O時 ,M和 N兩點同時停止運動 . (1)當 t=2時 ,求線段 PQ的長 。 (2)求 t為何值時 ,點 P與 N重合 。 (3)設△ APN的面積為 S,求 S與 t的函數(shù)關系式及 t的取值范圍 . ? 解析 (1)在菱形 OABC中 ,易知 ∠ AOC=60176。,∠ AOQ=30176。, 當 t=2時 ,OM=2,∴ PM=2? ,QM=? ,∴ PQ=? . (2)當 t≤ 4時 ,AN=PO=2OM=2t,t=4時 ,P點與 C點重合 ,N到達 B點 ,故點 P,N在邊 BC上相遇 . 設 t秒時 P與 N重合 ,則 (t4)+2(t4)=8,解得 t=? . 即 t=? 秒時 ,P與 N重合 . (3)①當 0≤ t≤ 4時 ,PN=OA=8,且 PN∥ OA,PM=? t, ∴ S△ APN=? 8? t=4? t. ②當 4t≤ ? 時 ,PN=83(t4)=203t, ∴ S△ APN=? 4? (203t)=40? 6? t. ③當 ? t≤ 8時 ,PN=3(t4)8=3t20, ∴ S△ APN=? 4? (3t20)=6? t40? . ④當 8t≤ 12時 ,ON=242t,N到 OM的距離為 12? ? t,N到 CP的距離為 4? (12? ? t)=? t8 3 233 4332032033123 3203123 3 3203123 3 33 3 3 3 3 3? ,CP=t4,BP=12t, ∴ S△ APN=S菱形 OABCS△ AONS△ CPNS△ APB =32? ? 8(12? ? t)? (t4)(? t8? )? (12t)4? =? t2+12? t56? . 綜上 ,S與 t的函數(shù)關系式為 S=? 33123 3123 3123323 324 3 ( 0 4 ) ,204 0 3 6 3 4 ,3206 3 4 0 3 8 ,331 2 3 5 6 3 ( 8 1 2 ) .2ttttttt t t? ??????? ? ???? ???? ??? ? ?? ??????? ? ? ? ???12.(2022云南 ,20,8分 )如圖 ,△ ABC是以 BC為底的等腰三角形 ,AD是邊 BC上的高 ,點 E、 F分別是 AB、 AC的中點 . (1)求證 :四邊形 AEDF是菱形 。 (2)如果四邊形 AEDF的周長為 12,兩條對角線的和等于 7,求四邊形 AEDF的面積 S. ? 解析 (1)證明 :∵ △ ABC是等腰三角形 ,AD是邊 BC上的高 , ∴ 點 D為 BC的中點 ,∵ 點 E是 AB的中點 , ∴ DE∥ AC, 同理 ,DF∥ AB, ∴ 四邊形 AEDF是平行四邊形 , ∵ 點 E、 F分別是 AB、 AC的中點 ,AB=AC, ∴ AE=AF, ∴ 四邊形 AEDF是菱形 . (2)連接 EF交 AD于點 O, ∵ 菱形 AEDF的周長為 12,∴ AE=3, 設 AO=x,EO=y, ∵ 菱形 AEDF的兩條對角線的和等于 7,∴ x+y=? . 在△ AEO中 ,由勾股定理得 AO2+EO2=AE2,即 x2+y2=32, 變形得 (x+y)22xy=9, 72即 ? 2xy=9, 解得 xy=? , ∴ 四邊形 AEDF的面積 S=? xy4=2xy=? . 272??????13812 134方法指導 對于以菱形為背景的求線段長度的問題 ,常用的解決方法是根據(jù)菱形的四條邊相 等、對角線互相垂直平分得到特殊三角形 ,再利用特殊三角形的性質(zhì)解題 . 13.(2022江西南昌 ,20,8分 ) (1)如圖 1,紙片 ?ABCD中 ,AD=5,S?ABCD= A作 AE⊥ BC,垂足為 E,沿 AE剪下△ ABE,將它平 移至△ DCE39。的位置 ,拼成四邊形 AEE39。D,則四邊形 AEE39。D的形狀為 ? ( ) (2)如圖 2,在 (1)中的四邊形紙片 AEE39。D中 ,在 EE39。上取一點 F,使 EF=4,剪下△ AEF,將它平移至△ DE39。F39。的位置 ,拼成四邊形 AFF39。D. ①求證 :四邊形 AFF39。D是菱形 。 ②求四邊形 AFF39。D的兩條對角線的長 . ? 解析 (1)C.? (2分 ) (2)①證明 :∵ AD=5,S?ABCD=15, ∴ AE=3. 又 ∵ 在題圖 2中 ,EF=4, ∴ 在 Rt△ AEF中 ,AF=? =? =5. ∴ AF=AD=5. 又由△ AEF平移得到△ DE39。F39。, ∴ AF∥ DF39。,AF=DF39。, ∴ 四邊形 AFF39。D是平行四邊形 . 又 AF=AD, ∴ 四邊形 AFF39。D是菱形 .? (5分 ) ②如圖 ,連接 AF39。,DF. 22AE EF? 2234?? 在 Rt△ DE39。F中 ,∵ E39。F=E39。EEF=54=1,DE39。=3, ∴ DF=? =? .? (6分 ) 在 Rt△ AEF39。中 ,∵ EF39。=E39。E+E39。F39。=5+4=9,AE=3, ∴ AF39。=? =3? .? (8分 ) 2213? 102239? 1014.(2022貴州貴陽 ,18,10分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,D,E分別為 AB,AC邊上的中點 ,連接 DE,將△ ADE繞點 E旋轉(zhuǎn) 180176。得到△ CFE,連接 AF,CD. (1)求證 :四邊形 ADCF是菱形 。 (2)若 BC=8,AC=6,求四邊形 ABCF的周長 . ? 解析 (1)證明 :∵ 將△ ADE繞點 E旋轉(zhuǎn) 180176。得到△ CFE,∴ AE=CE,DE=FE. ∴ 四邊形 ADCF為平行四邊形 .? (3分 ) ∵ 點 D,E分別是 AB,AC的中點 ,∴ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE∥ BC. ∵∠ ACB=90176。,∴ DF⊥ AC,∴ 四邊形 ADCF為菱形 .? (5分 ) (2)在 Rt△ ABC中 ,BC=8,AC=6,∴ AB=10.? (7分 ) ∵ 點 D是 AB邊上的中點 ,∴ AD=5. ∵ 四邊形 ADCF為菱形 ,∴ AF=FC=AD=5,? (9分 ) ∴ C四邊形 ABCF=10+8+5+5=28.? (10分 ) 評析 本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線定理、菱形的性質(zhì)等知識點 ,屬容易題 . 15.(2022北京 ,19,5