【正文】 ??AFBDS四 邊 形AFBDS四 邊 形12 12AFBDS四 邊 形5.(2022陜西西安三十九中 ,13)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,AB=4,BC=5,∠ ABC=60176。,平行四邊 形 ABCD的對(duì)角線 AC、 BD交于點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn) O作 OE⊥ AD,垂足為 E,則 OE= . ? 答案 ? 3解析 過(guò) C作 CF⊥ AD于 F,如圖所示 , ? ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴∠ ADC=∠ ABC=60176。,CD=AB=4,OA=OC, ∴∠ DCF=30176。, ∴ CF=? CD=2? , ∵ CF⊥ AD,OE⊥ AD,∴ CF∥ OE, ∵ OA=OC, ∴ OE是△ ACF的中位線 , 323∴ OE=? CF=? . 1236.(2022安徽合肥十校聯(lián)考 ,14)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,ABAD,按以下步驟作圖 :以 A為圓 心 ,小于 AD的長(zhǎng)為半徑畫弧 ,分別交 AB、 AD于 E、 F。再分別以 E、 F為圓心 ,大于 ? EF的長(zhǎng)為半 徑畫弧 ,兩弧交于點(diǎn) G。作射線 AG交 CD于點(diǎn) H,則下列結(jié)論正確的有 . ① AG平分 ∠ DAB。② CH=? DH。③△ ADH是等腰三角形 。④ S△ ADH=? S四邊形 ABCH. ? 1212 12答案 ①③ 解析 根據(jù)作圖的方法可得 AG平分 ∠ DAB,故①正確 。 ∵ AG平分 ∠ DAB,∴∠ DAH=∠ BAH, ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,∴ CD∥ AB, ∴∠ DHA=∠ BAH,∴∠ DAH=∠ DHA,∴ AD=DH, ∴ △ ADH是等腰三角形 ,故③正確 。 ②④ 無(wú)法判斷 .故答案為①③ . 7.(2022山東濟(jì)南 ,15)如圖 ,在 ?ABCD中 ,AD=2AB,F是 AD的中點(diǎn) ,作 CE⊥ AB,垂足 E在線段 AB上 , 連接 EF、 CF,則下列結(jié)論中一定成立的是 .(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上 ) ? ① ∠ DCF=? ∠ BCD。 ② EF=CF。 ③ S△ BEC=2S△ CEF。 ④ ∠ DFE=3∠ AEF. 12答案 ①②④ 解析 ① ∵ F是 AD的中點(diǎn) ,∴ AF=FD, ∵ 在 ?ABCD中 ,AD=2AB, ∴ AF=FD=CD,∴∠ DFC=∠ DCF, ∵ AD∥ BC,∴∠ DFC=∠ FCB, ∴∠ DCF=∠ BCF, ∴∠ DCF=? ∠ BCD,故①正確 。 ② 延長(zhǎng) EF,交 CD的延長(zhǎng)線于 M, ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,∴∠ A=∠ MDF, 在△ AEF和△ DMF中 ,? ∴ △ AEF≌ △ DMF(ASA),∴ EF=MF, 12,A F D MA F D FA F E D F M? ? ?????? ? ? ??∵ CE⊥ AB,∴∠ BEC=90176。, 又 AB∥ CD,∴∠ ECD=∠ BEC=90176。, ∴ △ ECM為直角三角形 ,∴ EF=CF,故②正確 。 ③ 由②知 EF=FM,∴ S△ ECM=2S△ EFC, ∵ BE∥ MC,MCBE,∴ S△ ECMS△ BEC, ∴ S△ BEC2S△ EFC,故③錯(cuò)誤 。 ④ 由①得 ∠ A=∠ BCD=2∠ DCF,又易證 ∠ AEF=∠ M=∠ DCF,∴∠ DFE=∠ A+∠ AEF=3∠ AEF, 故④正確 . 8.(2022陜西西安長(zhǎng)安一模 ,19)在 ?ABCD中 ,點(diǎn) E、 F分別在 AD、 BC上 ,且 AE=CF,BE、 DF分別 交 AC于點(diǎn) M、 N. 求證 :BM=DN. ? 三、解答題 (共 39分 ) 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD,AB∥ CD,∠ BAE=∠ DCF. 在△ ABE和△ CDF中 ,? ∴ △ ABE≌ △ CDF(SAS),∴∠ ABE=∠ CDF. ∵ AB∥ CD,∴∠ BAC=∠ ACD. 在△ ABM和△ CDN中 ,? ∴ △ ABM≌ △ CDN(ASA), ∴ BM=DN. ,A B C DB A E D C FA E C F???? ? ??? ??,B A C A C DA B C DA B E C D F? ? ?????? ? ? ??9.(2022湖北天門 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D,E,F分別是 AB,BC,CA的中點(diǎn) ,AH是邊 BC上的高 . (1)求證 :四邊形 ADEF是平行四邊形 。 (2)求證 :∠ DHF=∠ DEF. ? 證明 (1)∵ 點(diǎn) D,E,F分別是 AB,BC,CA的中點(diǎn) , ∴ DE、 EF都是△ ABC的中位線 , ∴ EF∥ AB,DE∥ AC, ∴ 四邊形 ADEF是平行四邊形 . (2)∵ 四邊形 ADEF是平行四邊形 , ∴∠ DEF=∠ BAC, ∵ D,F分別是 AB,CA的中點(diǎn) ,AH是邊 BC上的高 , ∴ DH=AD,FH=AF, ∴∠ DAH=∠ DHA,∠ FAH=∠ FHA, ∵∠ DAH+∠ FAH=∠ BAC, ∠ DHA+∠ FHA=∠ DHF, ∴∠ DHF=∠ BAC, ∴∠ DHF=∠ DEF. 10.(2022湖北咸寧赤壁 ,17)如圖 ,在 ?ABCD中 ,F是 AD的中點(diǎn) ,延長(zhǎng) BC到點(diǎn) E,使 CE=? BC,連接 DE,CF. (1)求證 :DE=CF。 (2)若 AB=4,AD=6,∠ B=60176。,求 DE的長(zhǎng) . ? 12解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD=BC,AD∥ BC. 又 ∵ F是 AD的中點(diǎn) ,∴ FD=? AD. ∵ CE=? BC,∴ FD=CE. 又 ∵ FD∥ CE, ∴ 四邊形 CEDF是平行四邊形 , ∴ DE=CF. (2)過(guò) D作 DG⊥ CE于點(diǎn) G. ? ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , 1212∴ AB∥ CD,CD=AB=4,BC=AD=6. ∴∠ DCE=∠ B=60176。. 在 Rt△ CDG中 ,∠ DGC=90176。, ∴∠ CDG=30176。, ∴ CG=? CD=2. ∴ DG=? =2? . ∵ CE=? BC=3, ∴ GE=1. 在 Rt△ DEG中 ,∠ DGE=90176。, ∴ DE=? =? . 1222CD CG? 31222DG GE? 1311.(2022吉林長(zhǎng)春 ,22)探究 :如圖① ,△ ABC是等邊三角形 ,在邊 AB、 BC的延長(zhǎng)線上截取 BM= CN,連接 MC、 AN,延長(zhǎng) MC交 AN于點(diǎn) P. (1)求證 :△ ACN≌ △ CBM。 (2)∠ CPN= 176。 應(yīng)用 :將圖①中的△ ABC分別改為正方形 ABCD和正五邊形 ABCDE,如圖②、③ ,在邊 AB、 BC 的延長(zhǎng)線上截取 BM=CN,連接 MC、 DN,延長(zhǎng) MC交 DN于點(diǎn) P,則圖②中 ∠ CPN= 176。圖③中 ∠ CPN= 176。 拓展 :若將圖①中的△ ABC改為正 n邊形 ,其他條件不變 ,則 ∠ CPN= 176。(用含 n的代數(shù)式 表示 ). 解析 探究 : (1)證明 :∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴ BC=AC,∠ ACB=∠ ABC=60176。, ∴∠ ACN=∠ CBM=120176。. 在△ ACN和△ CBM中 , ? ∴ △ ACN≌ △ CBM. (2)120. 由 (1)知△ ACN≌ △ CBM,∴∠ CAN=∠ BCM, ∵∠ ABC=∠ BMC+∠ BCM,∠ BAN=∠ BAC+∠ CAN, ∴∠ CPN=∠ BMC+∠ BAN=∠ BMC+∠ BAC+∠ CAN=∠ BMC+∠ BAC+∠ BCM=∠ ABC+∠ BAC =60176。+60176。=120176。. 應(yīng)用 :90。72. ,A C B CA C N C B MC N B M???? ? ?????對(duì)于題圖② ,有 : ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ BC=DC,∠ ABC=∠ BCD=90176。, ∴∠ MBC=∠ DCN=90176。. 在△ DCN和△ CBM中 , ? ∴ △ DCN≌ △ CBM,∴∠ CDN=∠ BCM, ∵∠ BCM=∠ PCN,∴∠ CDN=∠ PCN, 在 Rt△ DCN中 ,∠ CDN+∠ CND=90176。, ∴∠ PCN+∠ CND=90176。,∴∠ CPN=90176。. 對(duì)于題圖③ ,有 ∵ 五邊形 ABCDE是正五邊形 , ∴ BC=DC,∠ ABC=∠ DCB=108176。, ,D C B CD C N M B CC N B M???? ? ?????∴∠ MBC=∠ DCN=72176。. 在△ DCN和△ CBM中 , ? ∴ △ DCN≌ △ CBM, ∴∠ BMC=∠ CND,∠ BCM=∠ CDN, ∵∠ ABC=∠ BMC+∠ BCM=108176。, ∴∠ CPN=180176。(∠ CND+∠ PCN)=180176。(∠ CND+∠ BCM)=180176。(∠ BMC+∠ BCM)=180176。108176。= 72176。. 拓展 :? . ,D C B CD C N M B CC N B M???? ? ?????360n