【正文】 PQ=DQtan 30176。=1? =? . ∴ OP=PQ+QO=? . 32333 33433思路分析 本題第 (1)問可以通過切線的相關定理和等腰三角形“三線合一”來解決 .本題第 (2)問需要添加輔助線構造三角形來推導角的度數(shù) ,借助特殊角的三角函數(shù)解決問題 . 8.(2022新疆烏魯木齊 ,23,10分 )如圖 ,AG是 ∠ HAF的平分線 ,點 E在 AF上 ,以 AE為直徑的☉ O交 AG于點 D,過點 D作 AH的垂線 ,垂足為點 C,交 AF于點 B. (1)求證 :直線 BC是☉ O的切線 。 (2)若 AC=2CD,設☉ O的半徑為 r,求 BD的長度 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,∵ AG是 ∠ HAF的平分線 ,∴∠ CAD=∠ BAD, ∵ OA=OD,∴∠ OAD=∠ ODA,∴∠ CAD=∠ ODA,∴ OD∥ AC, ∵∠ ACD=90176。,∴∠ ODB=∠ ACD=90176。,即 OD⊥ CB, ∵ D在☉ O上 ,∴ 直線 BC是☉ O的切線 .? (4分 ) ? (2)在 Rt△ ACD中 ,設 CD=a(a0), 則 AC=2a,AD=? a, 連接 DE,∵ AE是☉ O的直徑 ,∴∠ ADE=90176。, 5由 ∠ CAD=∠ BAD,∠ ACD=∠ ADE=90176。, 得△ ACD∽ △ ADE,∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ a=? r, 由 (1)知 ,OD∥ AC,∴ ? =? ,即 ? =? , ∵ a=? r,∴ BD=? r.? (10分 ) ADAE ACAD 52 ar 25aa 45BDBC ODAC BDBD a? 2ra45 43思路分析 (1)連接 OD,利用平行線的判定以及等腰三角形的性質證明 OD∥ AC,從而證明直 線 BC是圓 O的切線 。(2)連接 DE,由 AE是圓 O的直徑可推 ∠ ADE=90176。,進一步可證△ ACD∽ △ ADE,再結合 (1)列等式即可求出 BD的長 . 9.(2022云南昆明 ,21,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,ED切☉ O于點 C,AD交☉ O于點 F,AC平分 ∠ BAD,連接 BF. (1)求證 :AD⊥ ED。 (2)若 CD=4,AF=2,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證法一 :連接 OC.? (1分 ) ∵ ED切☉ O于點 C, ∴ OC⊥ DE, ∴∠ OCE=90176。, ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ OCA. ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAC=∠ DAC, ∴∠ OCA=∠ DAC,? (3分 ) ∴ OC∥ AD, ∴∠ D=∠ OCE=90176。, ∴ AD⊥ ED.? (4分 ) 證法二 :連接 OC,? (1分 ) ∵ ED切☉ O于點 C, ∴ OC⊥ DE, ∴∠ OCD=90176。, ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ OCA, ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAC=∠ DAC, ∴∠ OCA=∠ DAC,? (3分 ) ∵∠ OCA+∠ ACD=90176。, ∴∠ DAC+∠ ACD=90176。, ∴∠ D=90176。, ∴ AD⊥ ED.? (4分 ) ? (2)解法一 :設線段 OC與 BF的交點為 H. ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ AFB=∠ HFD=90176。,? (5分 ) ∵∠ OCD=∠ D=90176。, ∴ 四邊形 HFDC是矩形 , ∴∠ CHF=90176。,即 OC⊥ BF,FH=DC=4,? (6分 ) ∴ FB=2FH=8.? (7分 ) 在 Rt△ BFA中 ,∠ AFB=90176。,AF=2, 由勾股定理可得 AB=? =? =2? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) 解法二 :過點 O作 ON⊥ AF于點 N.? (5分 ) ∵ OC⊥ DE,AD⊥ ED, ∴∠ OND=∠ D=∠ OCD=90176。, ∴ 四邊形 ONDC是矩形 ,? (6分 ) 22AF BF? 2228? 1717∴ ON=CD=4, ∵ ON⊥ AF,AF=2, ∴ AN=? AF=1.? (7分 ) 在 Rt△ OAN中 ,∠ ONA=90176。,由勾股定理可得 OA=? =? =? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) ? 1222ON AN? 2241? 1717思路分析 (1)連接 OC,則 OC⊥ DE,由 AC平分 ∠ BAD及 OA=OC,得 ∠ OAC=∠ DAC=∠ OCA,從 而得 OC∥ AD或 ∠ CAD+∠ ACD=90176。,進而證得 AD⊥ ED。(2)設線段 OC與 BF的交點為 H,則四邊 形 HFDC是矩形 ,從而得到 FB=8,進而利用勾股定理求解即可 ,或過 O作 ON⊥ AF于點 N,則 AN=1, 在矩形 ONDC中 ,ON=CD=4,由勾股定理求解即可 . 解題關鍵 本題考查了圓的切線的性質 ,勾股定理 ,矩形的性質 .第 (2)問中解法二的關鍵是過 O 作 ON⊥ AF,構造矩形和直角三角形 . 10.(2022北京 ,24,5分 )如圖 ,AB是☉ O的一條弦 ,E是 AB的中點 ,過點 E作 EC⊥ OA于點 C,過點 B作 ☉ O的切線交 CE的延長線于點 D. (1)求證 :DB=DE。 (2)若 AB=12,BD=5,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵ BD是☉ O的切線 ,∴∠ OBD=90176。. ∵ CE⊥ OA,∴∠ ACE=90176。. ∴∠ OBA+∠ EBD=∠ A+∠ AEC=90176。. ∵ OA=OB,∴∠ A=∠ OBA, ∴∠ EBD=∠ AEC. 又 ∵∠ AEC=∠ BED,∴∠ BED=∠ EBD,∴ DB=DE. (2)如圖 ,連接 OE,則 OE⊥ AB,AE=BE=6. 過點 D作 DM⊥ AB于點 M, ∵ DE=DB, ∴ BM=? BE=3, 在 Rt△ BMD中 ,由勾股定理得 ,DM=4. 易證 ∠ OBE=∠ BDM, 又 ∠ BEO=∠ DMB, 12∴ Rt△ OBE∽ Rt△ BDM, ∴ ? =? , ∴ OB=? . OBBD BEDM15211.(2022福建 ,21,8分 )如圖 ,四邊形 ABCD內接于☉ O,AB是☉ O的直徑 ,點 P在 CA的延長線上 ,∠ CAD=45176。. (1)若 AB=4,求 ? 的長 。 (2)若 ?= ? ,AD=AP,求證 :PD是☉ O的切線 . ? CD︵BC︵ AD︵解析 (1)連接 OC,OD. ∵∠ COD=2∠ CAD,∠ CAD=45176。, ∴∠ COD=90176。. ∵ AB=4,∴ OC=? AB=2. ∴ ? 的長 =? π2=π. (2)證明 :∵ ?= ? ,∴∠ BOC=∠ AOD. ∵∠ COD=90176。, ∴∠ AOD=? =45176。. ∵ OA=OD,∴∠ ODA=∠ OAD. ∵∠ AOD+∠ ODA+∠ OAD=180176。, ∴∠ ODA=? =176。. ∵ AD=AP,∴∠ ADP=∠ APD. ∵∠ CAD=∠ ADP+∠ APD,∠ CAD=45176。, 12CD︵ 90180BC︵ AD︵180 2 COD???180 2 AOD???∴∠ ADP=? ∠ CAD=176。. ∴∠ ODP=∠ ODA+∠ ADP=90176。. 又 ∵ OD是半徑 ,∴ PD是☉ O的切線 . 12解題思路 (1)連接 OC,OD,由圓周角定理可得 ∠ COD=90176。,然后利用弧長公式求解 . (2)由 ?= ? ,∠ COD=90176。得 ∠ BOC=∠ AOD=45176。.由 OA=OD得 ∠ ODA=∠ OAD=176。.由 AD= AP,∠ CAD=∠ ADP+∠ APD得 ∠ ADP=176。,所以 ∠ ODP=∠ ODA+∠ ADP=90176。,即證得 PD是☉ O的切線 . BC︵ AD︵12.(2022河北 ,23,9分 )如圖 ,AB=16,O是 AB的中點 ,點 C在線段 OB上 (不與點 O,B重合 ),將 OC繞點 O逆時針旋轉 270176。后得到扇形 COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 ? 于點 P,Q,且點 P,Q在 AB異側 ,連接 OP. (1)求證 :AP=BQ。 (2)當 BQ=4? 時 ,求優(yōu)弧 ? 的長 (結果保留 π)。 (3)若△ APO的外心在扇形 COD的內部 ,求 OC的取值范圍 . ? CD︵3 QD︵解析 (1)證明 :連接 OQ.? (1分 ) ∵ AP,BQ分別與優(yōu)弧 ? 相切 , ∴ OP⊥ AP,OQ⊥ BQ,即 ∠ APO=∠ Q=90176。. 又 OA=OB,OP=OQ,∴ Rt△ APO≌ Rt△ BQO.? (3分 ) ∴ AP=BQ.? (4分 ) (2)∵ BQ=4? ,OB=? AB=8,∠ Q=90176。, ∴ sin∠ BOQ=? .∴∠ BOQ=60176。.? (5分 ) ∵ OQ=8cos 60176。=4, ∴ 優(yōu)弧 ? 的長為 ? =? .? (7分 ) (3)設點 M為 Rt△ APO的外心 ,則 M為 OA的中心 , ∴ OM=4. 當點 M在扇形 COD的內部時 ,OMOC,∴ 4OC8.? (9分 ) CD︵31232QD︵ (270 60) 4180 ???143?思路分析 (1)連接 ∠ APO=∠ Q=90176。,由 HL得出 Rt△ APO≌ Rt△ BQO,即可得 AP=BQ。(2)由 BQ=4? ,OB=8,確定出 ∠ BOQ的度數(shù)及 OQ的長 ,進而根據(jù)弧長公式 求出優(yōu)弧 ? 的長 。(3)△ APO的外心是 OA的中點 ,OA=8,從而可由△ APO的外心在扇形 COD的 內部求出 OC的取值范圍 . 3QD︵解題技巧 遇到含有切線的解答題 ,首先要想到的是作輔助線 ,由此獲得更多能夠證明題目要 求的條件 .一般作輔助線的方法為“見切點 ,連圓心” ,從而構造直角三角形 (垂直 )進行證明或 計算 . 13.(2022山西 ,21,7分 )如圖 ,△ ABC內接于☉ O,且 AB為☉ O的直徑 .OD⊥ AB,與 AC交于點 E,與過 點 C的☉ O的切線交于點 D. (1)若 AC=4,BC=2,求 OE的長 。 (2)試判斷 ∠ A與 ∠ CDE的數(shù)量關系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。. 在 Rt△ ABC中 ,由勾股定理得 AB=? =? =2? , ∴ AO=? AB=? 2? =? .? (1分 ) ∵ OD⊥ AB,∴∠ AOE=∠ ACB=90176。, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ AOE∽ △ ACB,? (2分 ) ∴ ? =? ,∴ OE=? =? =? .? (3分 ) (2)∠ CDE=2∠ A.? (4分 ) 理由如下 : 證法一 :連接 OC.∵ OA=OC,∴∠ 1=∠ A. ∵ CD是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CD, ∴∠ OCD=90176。,∴∠ 2+∠ CDE=90176。.? (5分 ) ∵ OD⊥ AB,∴∠ 2+∠ 3=90176。,∴∠ 3=∠ CDE.? (6分 ) ∵∠ 3=∠ A+∠ 1=2∠ A,∴∠ CDE=2∠ A.? (7分 ) 22AC BC? 2242? 512 125 5OECBAOAC CB AOAC? 254 52? 證法二 :連接 OC.∵ CD是☉ O的切線 , ∴ OC⊥ CD,∴∠ 1+∠ 2=90176。. ∵ OD⊥ AB,∴∠ AOE=90176。, ∴∠ A+∠ 3=90176。.? (5分 ) ∵ OA=OC,∴∠ 1=∠ A, ∴∠ 2=∠ 3.? (6分 ) 又 ∵∠ 3=∠ 4,∴∠ 2=∠ 4=∠ 3=90176。∠ A, ∴∠ CDE=180176。(∠ 2+∠ 4)=180176。2(90176?！?A)=180176。290176。+2∠ A=2∠ A.? (7分 ) ? 解后反思 求線段長度的方法 ,除了簡單的直接加減之外 ,還可以把線段長度放在方程中求解 , 建立方程的常見方法 :通過相似得到比例建立方程 。通過勾股定理建立方程 。通過三角函數(shù)建 立邊與邊之間的關系 ,等等 .在這幾種方法的選擇上 ,要具體問題具體分析 ,選擇一種最簡單的 方法 . 14.(2022北京 ,25,5分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,F為弦 AC的中點 ,連接 OF并延長交 ? 于點 D,過點 D作☉ O的切線 ,交 BA的延長線于點 E. (1)求證 :AC∥ DE。 (2)連接 CD,若 OA=AE=a,寫出求四邊形 ACDE面積的思路 . ? AC︵解析 (1)證明 :連接 OC,如圖 . ∵ OA=OC,F為 AC的中點 , ∴ OD⊥ AC. ∵ DE是☉ O的切線 ,∴ OD⊥ DE. ∴ AC∥ DE. (2)求解思路如下 : ①在 Rt△ ODE中 ,由 OA=AE=OD=a,可得△ ODE,△ OFA為含 30176。角的直角三角形 。 ②由 ∠ ACD=? ∠ AOD=30176。,可知 CD∥ OE。 ③由 AC∥ DE,可知四邊形 ACDE是平行四邊形 。 ④由△ ODE,△ OFA為含有 30176。角的直角三角形 ,可求 DE,DF的長 ,進而可求四邊形 ACDE的面積 . ? 1215.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,已知 :A