【正文】 . 12 1213。=60176。. 解題關(guān)鍵 證明 OA=OC是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022寧波海曙模擬 ,20)已知 EF∥ MN,直線 AC交 EF、 MN于點(diǎn) A、 C,作 ∠ ACN的平分線交 EF 于點(diǎn) B,作 ∠ CAE的平分線交 MN于點(diǎn) D. (1)求證 :四邊形 ABCD為平行四邊形 。AC,∴ OA=OC. 又 CD=AB,∴ OD=CDOC=ABOA=AB39。AC,AB=AB39。. ? 證明 ∵ △ AB39。 處 ,AB39。,∵ 此正 n邊形的一個(gè)內(nèi)角是它 的外角的 5倍 , ∴ 180x=5x,解得 x=30, ∴ n=? =12. 故選 C. 36030??2.(2022杭州錦繡中學(xué)一模 ,12)如圖 ,在 ?ABCD中 ,AD=8,AB=6,DE平分 ∠ ADC交 BC于 E,則 BE= . ? 二、填空題（共 3分） 答案 2 解析 ∵ DE平分 ∠ ADC,∴∠ ADE=∠ CDE, ∵ 在 ?ABCD中 ,AD∥ BC,∴∠ ADE=∠ CED, ∴∠ CDE=∠ CED,∴ CE=CD, ∵ 在 ?ABCD中 ,AB=6,AD=8, ∴ CD=AB=6,BC=AD=8, ∴ BE=BCCE=86=2. 3.(2022金華永康模擬 ,21)如圖所示 ,在 ?ABCD中 ,對(duì)角線 AC與 BD交于點(diǎn) O,過點(diǎn) O作一條直線 分別交 AB,CD于點(diǎn) E,F. (1)求證 :OE=OF。 提升題組 (時(shí)間 :30分鐘 分值 :40分 ) 一、選擇題（共 3分） 答案 C 設(shè)這個(gè)正 n邊形的一個(gè)外角為 x176。 (3)在所畫角的兩邊上取線段 ,使長(zhǎng)分別等于 ,。 AB=CD且 AC⊥ BD,則四邊形 ABCD為菱形 ,不一定為正方形 . 2.(2022義烏模擬 ,12)如圖 ,?ABCD的對(duì)角線 BD上有兩點(diǎn) E、 F,請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ,使四邊形 AECF是平行四邊形 ,你添加的條件是 . 答案 BE=DF(或 AE∥ CF或 AF∥ EC) 解析 可添加條件 BE=DF或 AE∥ CF或 AF∥ EC,以下只證明添加 BE=DF的情況 . 證明 :連接 AC,交 BD于點(diǎn) O,如圖所示 . ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ OA=OC,OB=OD, ∵ BE=DF, ∴ OBBE=ODDF,即 OE=OF, ∵ OA=OC, ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 . 3.(2022杭州二模 ,18)已知 :線段 a,b,∠ α(如圖 ),用直尺和圓規(guī)作一個(gè)平行四邊形 ,使它的兩條對(duì) 角線長(zhǎng)分別等于線段 a、 b的長(zhǎng) ,且兩條對(duì)角線所成的一個(gè)角等于 ∠ α. ? 解析 按以下步驟作圖 :(1)畫出線段 a,b的中垂線 。 。PH=? ? ? =? . 2x333 x?2312 12323 333.(2022杭州五區(qū)聯(lián)考二模 )在平行四邊形 ABCD中 ,E為 AB上的一點(diǎn) ,連接 CE,P為 CE的中點(diǎn) ,過 P 作直線 MN分別交邊 AD,BC于點(diǎn) M, EA∶ EB=5∶ 4,則 PM∶ PN= . 答案 7∶ 2 解析 如圖所示 ,過 P作 PH∥ AB,過 M作 MF∥ AB交 BC于 F,則 MF=AB. ? ∵ P是 EC的中點(diǎn) ,∴ H是 BC的中點(diǎn) , ∴ PH?? ? BE. 設(shè) AE=5a,則 BE=4a,∴ PH=2a. 又 ∵ PH∥ AB∥ MF,∴ ? =? ,即 ? =? =? =? , ∴ MP∶ PN=7∶ 2. 12PHMFPNMN PHAB PNMN 254aaa? 291.(2022寧波一模 )已知四邊形 ABCD中 ,AB∥ CD,則下列命題正確的是 ? ( ) BC=AD,則四邊形 ABCD是平行四邊形 ∠ ABC=90176。=? OD39。PHCD 39。O, ∴ ? =? , 339。=2x, 易得△ PHO∽ △ C39。, ∴∠ OAD=∠ ODA=30176。,在 ?ABCD中 ,AD∥ BC, ∴∠ BDA=∠ DBC=30176。于點(diǎn) PH=x. ? 在△ CDB中 ,∵ CD=2,BC=4,BD=2? , ∴ CD2+DB2=BC2,∴∠ CDB=90176。O交 AD于點(diǎn) P,則△ OPD39。處 ,點(diǎn) C落在 C39。CD+? AC, ∴ △ ABC是等邊三角形 , ∵ AD=CD,AB=BC, ∴ BD在線段 AC的垂直平分線上 , ∴ BD⊥ AC, ∴ AO=CO=1, ∴ tan∠ BAC=? , ∴ BO=1tan 60176。. ∵ △ ADC是等腰直角三角形 , ∴∠ DAC=∠ DCA=45176。,求箏形 ABCD的面積 . ? 2解析 (1)∵ 四邊形 ABCD為箏形 ,∴ AB=BC, ∵ 箏形 ABCD的周長(zhǎng)是 18,AD=CD=3,∴ AB=? =6.? (2分 ) (2)證明 :如圖① ,連接 AC, ∵ AD=DC,∴∠ DAC=∠ DCA, ∵ AB=BC,∴∠ BAC=∠ BCA, ∵∠ DAB=∠ DAC+∠ BAC, ∠ DCB=∠ DCA+∠ BCA, ∴∠ DAB=∠ DCB,? (4分 ) 即 ∠ DAC=∠ DCB.? (5分 ) 18 2 32??? (3)如圖② ,設(shè) AC交 BD于點(diǎn) O, ∵∠ ADC=90176。 (3)如圖 2,箏形 ABCD中 ,若 AD=DC=? ,∠ ADC=90176。. 7.(2022臺(tái)州一模 )奇奇和佳佳在學(xué)習(xí)完多邊形的相關(guān)知識(shí)后 ,對(duì)多邊形的邊數(shù)和對(duì)角線的條數(shù) 展開了以下討論 : (1)奇奇說存在一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)為 15,他的說法對(duì)嗎 ,為什么 ? (2)設(shè)多邊形的邊數(shù)為 x(x≥ 4,且 x為整數(shù) ),若多邊形的邊數(shù)增加 5,則其對(duì)角線條數(shù)增加 y,求 y和 x 之間滿足的函數(shù)關(guān)系式 . 解析 (1)奇奇的說法不對(duì) . 理由 :設(shè)多邊形的邊數(shù)為 n(n≥ 3,且 n為整數(shù) ),其對(duì)角線的條數(shù)為 d, 則 d=? , 當(dāng) ? =15時(shí) , 整理得 n23n30=0, 解得 n1=? ,n2=? . ∴ 不存在整數(shù) n(n≥ 3)使得方程 n23n30=0成立 , 即不存在對(duì)角線條數(shù)為 15的多邊形 . (2)當(dāng)多邊形的邊數(shù)為 x時(shí) ,其對(duì)角線條數(shù)為 ? , 若多邊形邊數(shù)增加 5,則其對(duì)角線條數(shù)為 ? , 則 y=? ? . 化簡(jiǎn)整理得 y=5x+5. ( 3)2nn?( 3)2nn?3 1 2 92? 3 1 2 92?( 3)2xx?( 5)( 5 3)2xx? ? ?( 5)( 5 3)2xx? ? ? ( 3)2xx?故 y和 x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為 y=5x+5(x≥ 4,且 x為整數(shù) ). 評(píng)析 可根據(jù)多邊形過同一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的條數(shù)與分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系列方程求 解 . 多邊形有 n條邊 ,則經(jīng)過多邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線有 (n3)條 ,經(jīng)過多邊形同一個(gè)頂點(diǎn) 的所有對(duì)角線把多邊形分成 (n2)個(gè)三角形 . 8.(2022杭州西湖二模 )有一組鄰邊相等 ,且另外兩邊也相等的四邊形叫做箏形 ,如圖 1,四邊形 ABCD中 ,AD=DC,AB=BC,那么四邊形 ABCD叫做箏形 . (1)如圖 1,如果箏形 ABCD的周長(zhǎng)是 18,AD=CD=3,那么 AB= 。,∴∠ AEB=36176。. 連接 BE,則 l∥ CD∥ BE,∴∠ BED+∠ D=180176。247。. (5 2) 1805? ? ?評(píng)析 分析題意 ,根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得 CD=CB,即△ CDB為等腰三角形 ,你有思路了嗎 ? 由正五邊形的內(nèi)角和公式求得 ∠ C的度數(shù) ,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和公式得到 ∠ CDB的度數(shù) ,根 據(jù)平行線的性質(zhì)可得 ∠ F=∠ CDB. 6.(2022杭州上城一模 ,13)如圖 ,過正五邊形 ABCDE的頂點(diǎn) A作直線 l∥ CD,則 ∠ 1的度數(shù)為 . ? 答案 36176。,CD=CB, ∴∠ CDB=∠ CBD=36176。=1 980176。, 則原多邊形的邊數(shù)為 ? ( ) 12 答案 B 由題意 ,新多邊形比原多邊形的邊數(shù)多 1. 設(shè)新多邊形為 n邊形 , 則 (n2)(82)=1 080176。45176。, ∴ 多邊形的邊數(shù)為 360176。 176。 040176。=4? =2? ,∴ BD=22? =4? ,∴ AP+BP的最小值為 4? . ? 323 3 3 3評(píng)析 求 PA +PB的最小值 ,通過對(duì)稱 ,轉(zhuǎn)化線段 ,從而找到最小值求解 . 3.(2022寧波慈溪模擬 ,5)若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于 45176。, ∴ BH=AB=BD,此時(shí) PA +PB最小 ,∵ AB=AD=4,∠ BAD=120176。=DP39。,∴ AP39。,過 A作 AH⊥ BD,∵ E是 AD的中點(diǎn) ,且 EF⊥ AD, ∴ AP39。,E、 F分別是 AD、 BC的中點(diǎn) ,且 EF⊥ AD,AB=AD=4,點(diǎn) P是 EF上任意一點(diǎn) ,連接 PA、 PB,則 PA +PB的最小值為 ? ( ) ? ? ? ? ? 2 3 2 3答案 B 如圖 ,連接 BD,與 EF交于點(diǎn) P39。(n2)=720176。, ∴ 該多邊形的內(nèi)角和為 720176。 ② 若點(diǎn) M,N中恰好只有一個(gè)點(diǎn)落在四邊形 ADEC的內(nèi)部 (不包括邊界 )時(shí) ,直接寫出 S的取值范 圍 . ? 解析 (1)∵ OB=6,C是 OB的中點(diǎn) , ∴ BC=? OB=3, ∴ 2t=3,即 t=? , ∴ OE=? +3=? ,∴ E? . 123232 92 9 ,02??????(2)證明 :如圖 ,連接 CD交 OP于點(diǎn) G, 在平行四邊形 PCOD中 , CG=DG,OG=PG, ∵ AO=PE, ∴ AG=EG, ∴ 四邊形 ADEC為平行四邊形 . (3)① (i)當(dāng)點(diǎn) C在 BO上時(shí) , 第一種情況 :如圖 ,當(dāng)點(diǎn) M在 CE邊上時(shí) , ∵ MF∥ OC, ∴ △ EMF∽ △ ECO, ∴ ? =? , 即 ? =? , ∴ t=1. MFCO EFEO262t? 23 t?第二種情況 :如圖 ,當(dāng)點(diǎn) N在 DE邊上時(shí) , ∵ NF∥ PD, ∴ △ EFN∽ △ EPD, ∴ ? =? , 即 ? =? , FNPD EFEP162t? 23∴ t=?. 94(ii)當(dāng)點(diǎn) C在 BO的延長(zhǎng)線上時(shí) , 第一種情況 :如圖 ,當(dāng)點(diǎn) M在 DE邊上時(shí) , ∵